Lembre-se que a forma geral de uma EDO linear de primeira ordem é
. Caso necessário, adeque a EDO à forma geral.
Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem:
9.
Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem:
9.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
Informações dadas:
Queremos encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Apresento o método que vamos usar (de forma didática): para uma EDO linear de primeira ordem na forma
usa-se o fator integrante
definido por
Explicando passo a passo: se multiplicarmos a equação por
obtemos
Como
(essa é a razão de escolher
assim), o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja
Assim basta integrar ambos os lados para achar
e depois dividir por
para obter
. É um método padrão e muito prático — agora aplicamos ao nosso caso.
Passo 3
Na nossa equação temos
e
. Calculamos o fator integrante:
Observação: aqui a integral de
em relação a
é
, então
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Simplificando o segundo termo do lado direito:
Logo temos a equação prontinha para integrar:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Separamos a integral em duas:
Vamos calcular a primeira integral
por partes. Escolhemos
Pela fórmula de integração por partes
, obtemos
A segunda integral é simples:
Portanto o lado direito completo é
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora voltamos para a expressão
(integral). Temos
Dividindo todos os termos por
para isolar
,
Simplificando
, obtemos a solução geral
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Breve verificação (pra você confiar na resposta): se derivarmos
obtemos
então
como exigido. Tudo confere! Força nos estudos — você consegue.