Lembre-se que a forma geral de uma EDO linear de primeira ordem é y^{\prime}+p(t) y=g(t). Caso necessário, adeque a EDO à forma geral.
Resolva as seguintes EDOs lineares de primeira ordem:
9. y^{\prime}+3 y=x+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+3y=x+e^{-2x}.
Informações dadas:
\text{Equação: } y'+3y=x+e^{-2x}.çã
Queremos encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Apresento o método que vamos usar (de forma didática): para uma EDO linear de primeira ordem na forma
y'+p(x)y=g(x),
usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Explicando passo a passo: se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu y'+\mu p y=\mu g.
Como \mu'=\mu p (essa é a razão de escolher \mu assim), o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (\mu y), ou seja
(\mu y)'=\mu g.
Assim basta integrar ambos os lados para achar \mu y e depois dividir por \mu para obter y. É um método padrão e muito prático — agora aplicamos ao nosso caso.

Passo 3

Na nossa equação temos p(x)=3 e g(x)=x+e^{-2x}. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Observação: aqui a integral de 3 em relação a x é 3x, então \mu(x)=e^{3x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x}:
e^{3x}y'+3e^{3x}y=e^{3x}\bigl(x+e^{-2x}\bigr).
Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{3x}y\bigr)'=e^{3x}x+e^{3x}e^{-2x}.
Simplificando o segundo termo do lado direito:
e^{3x}e^{-2x}=e^{(3-2)x}=e^{x}.
Logo temos a equação prontinha para integrar:
\bigl(e^{3x}y\bigr)'=e^{3x}x+e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y=\int\bigl(e^{3x}x+e^{x}\bigr)\,dx.
Separamos a integral em duas:
\int e^{3x}x\,dx+\int e^{x}\,dx.
Vamos calcular a primeira integral \int x e^{3x}\,dx por partes. Escolhemos
u=x\quad\Rightarrow\quad du=dx,
dv=e^{3x}\,dx\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{3}e^{3x}.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv=uv-\int v\,du, obtemos
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}.
A segunda integral é simples:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto o lado direito completo é
\int\bigl(e^{3x}x+e^{x}\bigr)\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora voltamos para a expressão e^{3x}y= (integral). Temos
e^{3x}y=\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + e^{x} + C.
Dividindo todos os termos por e^{3x} para isolar y,
y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3x}} + C e^{-3x}.
Simplificando \dfrac{e^{x}}{e^{3x}}=e^{-2x}, obtemos a solução geral
y=\frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C e^{-3x},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Breve verificação (pra você confiar na resposta): se derivarmos y obtemos
y'=\frac{1}{3}-2e^{-2x}-3C e^{-3x},
então
y'+3y = \bigl(\tfrac{1}{3}-2e^{-2x}-3C e^{-3x}\bigr)+3\bigl(\tfrac{1}{3}x-\tfrac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}\bigr)=x+e^{-2x},
como exigido. Tudo confere! Força nos estudos — você consegue.

Resposta

y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}

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