Considerando um perfil parabólico de velocidade \mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{a}+\mathrm{by}^{2} determinar
(a) O gradiente de velocidade
(b) A tensão de cisalhamento em \mathrm{y}=0 e em \mathrm{y}=-100 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado dá um perfil parabólico de velocidade
V(y) = a + b\,y^2
e pede:
– (a) o gradiente de velocidade \dfrac{dV}{dy},
– (b) a tensão de cisalhamento \tau em y=0 e em y=-100\text{ mm}.
Vamos usar que a tensão de cisalhamento num fluido newtoniano satisfaz
\tau(y)=\mu\,\frac{dV}{dy}(y),
onde \mu é a viscosidade dinâmica.

Passo 2

Derivando o perfil em relação a y, temos
\frac{dV}{dy} =\frac{d}{dy}\bigl(a + b\,y^2\bigr) =0 + 2\,b\,y =2\,b\,y.

Passo 3

Logo, o gradiente de velocidade é
\frac{dV}{dy}(y)=2\,b\,y.

Passo 4

A tensão de cisalhamento é
\tau(y)=\mu\;\bigl(2\,b\,y\bigr)=2\,\mu\,b\,y.

Passo 5

Agora avaliamos:
– Em y=0:
\frac{dV}{dy}(0)=2\,b\cdot0=0 \quad\Longrightarrow\quad \tau(0)=\mu\cdot0=0.
– Em y=-100\text{ mm}=-0{,}1\text{ m}:
\frac{dV}{dy}(-0{,}1)=2\,b\cdot(-0{,}1)=-0{,}2\,b \quad\Longrightarrow\quad \tau(-0{,}1)=\mu\,(-0{,}2\,b)=-0{,}2\,\mu\,b.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dV}{dy}=2\,b\,y
(b) \displaystyle \tau(0)=0,\quad \tau(-100\text{ mm})=-0{,}2\,\mu\,b

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