Um escoamento de água atravessa um tubo horizontal com uma redução de seção de 20 cm de diâmetro para 10 cm . A pressão no trecho mais largo é 350 kPa . Calcule a vazão (em L/s), desconsiderando perdas.

Passo 1

O enunciado diz que há um escoamento de água em tubo horizontal que se reduz de diâmetro \,D_1=0{,}20\:\mathrm m para \,D_2=0{,}10\:\mathrm m, com pressão no trecho mais largo igual a \,P_1=350\:\mathrm{kPa}. Desprezando perdas e variação de altura, vamos usar:
  1. A equação da continuidade: \,A_1v_1=A_2v_2.
  2. A equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2, com \,P_2=0 (pressão de referência, em gama).
    Também precisamos da densidade da água, \,\rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}.

Passo 2

Calculamos as áreas das seções e a relação entre velocidades.
A_i = \frac{\pi D_i^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad A_1 = \frac{\pi (0{,}20)^2}{4},\; A_2 = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4}.
Da continuidade A_1v_1=A_2v_2 vem
\frac{v_1}{v_2} = \frac{A_2}{A_1} = \Bigl(\frac{D_2}{D_1}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{0{,}10}{0{,}20}\Bigr)^2 = \frac1{4},
ou seja
v_1 = \frac{v_2}{4}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli (em termos de pressões absolutas de gama) entre as seções 1 e 2:
\frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} = \frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2}.
Como P_2=0 (referência), obtemos
P_1 = \frac{\rho}{2}\,\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr).
Substituindo v_1=v_2/4,
P_1 = \frac{\rho}{2}\,v_2^2\Bigl(1 - \frac1{16}\Bigr) = \frac{\rho}{2}\,\frac{15}{16}\,v_2^2 = \frac{15\,\rho}{32}\,v_2^2.
Logo,
v_2 = \sqrt{\frac{32}{15}\,\frac{P_1}{\rho}}.

Passo 4

Numerando com \,P_1=350\times10^3\:\mathrm{Pa} e \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}:
v_2 = \sqrt{\frac{32}{15}\,\frac{350\times10^3}{1000}} = \sqrt{\frac{32}{15}\times350} \approx 27{,}33\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

A vazão volumétrica é
Q = A_2\,v_2 = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4}\;\times27{,}33 \approx 0{,}2148\:\mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q \approx 0{,}2148\:\mathrm{m^3/s}\times1000 =214{,}8\:\mathrm{L/s}.

Resposta

A vazão vale aproximadamente 214{,}8\:\mathrm{L/s}.

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