Considerando placas paralelas infinitas e estacionárias, utilize um volume de controle adequado e diga que considerações matemáticas importantes podem ser utilizadas para a dedução da expressão para perfil de velocidade, distribuição de cisalhamento, vazão em volume, vazão em volume como função da queda de pressão, velocidade média e ponto de velocidade média.
Passo 1
O enunciado pede que, para o escoamento entre placas paralelas infinitas e estacionárias, eu use um volume de controle adequado e indique as considerações matemáticas importantes para deduzir:
- o perfil de velocidade
, - a distribuição de cisalhamento
, - a vazão em volume
, - a vazão em volume como função da queda de pressão
, - a velocidade média
, - o(s) ponto(s) onde a velocidade vale a velocidade média (ponto de velocidade média).
Informações / hipóteses que vou usar (essas são todas as condições dadas ou naturais para placas infinitas e estacionárias):
- as placas são paralelas, fixas e infinitas nos eixos
(direção do escoamento) e (span); a distância entre as placas é (posso colocar as placas em e ); - escoamento estacionário e incompressível;
- escoamento unidirecional e totalmente desenvolvido: a única componente diferente de zero é
na direção e ; - fluido newtoniano com viscosidade dinâmica
; - condição de não deslizamento (no-slip) nas paredes:
e ; - o escoamento é impulsionado por um gradiente de pressão
(constante ao longo de no regime totalmente desenvolvido).
No passo seguinte começo a resolução aplicando balanço de forças (controle elementar) e derivando a equação diferencial que gera o perfil de velocidade.
Passo 2
Escolha do volume de controle e balanço de forças: elemento elemental em forma de fatia do fluido com espessura
, comprimento
na direção do escoamento e largura unitária em
(como as placas são infinitas, trabalha-se por unidade de largura). Faço o balanço de forças na direção
sobre essa fatia.
Forças que atuam no elemento:
- forças de pressão nas faces frontais:
na face em e na face em ; - forças de cisalhamento nas faces superior e inferior:
na face superior e na face inferior.
Balanço de forças (neglecting body forces) em regime estacionário (soma das forças = 0):
Dividindo por
e tomando limites
dá:
ou seja
Esta equação é a forma diferencial do equilíbrio de momentos lineares no eixo
para o elemento. Comentário didático: ela significa que a variação vertical do esforço de cisalhamento compensa o gradiente de pressão ao longo do canal.
Passo 3
Relação constitutiva (fluido newtoniano) e obtenção da equação para
.
Para fluido newtoniano em escoamento unidirecional temos a relação linear
onde:
-
é o esforço de cisalhamento atuando na face inclinada (com componente devido a variação em ); -
é a viscosidade dinâmica; -
é a velocidade na direção , função apenas de .
Substituindo em
obtemos a equação ordinária de segunda ordem:
Explicação: é uma equação simples de equilíbrio entre viscosidade (segundo derivada de velocidade) e gradiente de pressão. Como
é constante no escoamento totalmente desenvolvido, o lado direito é constante.
Passo 4
Integração da equação diferencial e aplicação das condições de contorno.
Integrando uma vez:
onde
é constante de integração física (relaciona-se ao esforço de cisalhamento no centro).
Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
Aplicando as condições de não deslizamento:
- em
: implica então . - em
: implica
Daí
Substituindo
e
em
e isolando
:
Colocando em forma mais limpa:
Comentário prático: como normalmente
(pressão decresce no sentido do escoamento), a expressão resulta em
no interior. Para deixar isso explícito, defino
(magnitude do gradiente de pressão). Então uma forma usual é:
Passo 5
Perfil de velocidade — interpretação e máxima velocidade.
A expressão parabólica
é simétrica em torno de
. A velocidade máxima ocorre no centro do canal
.
Calcule
:
Relação entre
e a velocidade média aparecerá mais adiante.
Passo 6
Distribuição de esforço de cisalhamento
.
Usando
a partir da expressão de
:
Primeiro calcule a derivada:
Multiplicando por
:
Observações:
-
é linear em ; - no centro
temos (mudança de sinal do esforço de cisalhamento); - esforço de parede (em
ou ) é
Em termos de gradiente de pressão original,
se
é a queda de pressão ao longo de um comprimento
(veja Passo 7 para relação com
).
Passo 7
Vazão volumétrica por unidade de largura
(como as placas são infinitas em
, calcula-se por unidade de largura).
Definição:
Substituo
(faço a multiplicação):
Avalio o integral:
Voltando ao gradiente original com
:
Se a queda de pressão ao longo de um trecho de comprimento
for
, então
(assumindo variação linear), e assim:
Comentário sobre unidades e interpretação: esse
é volumétrico por unidade de largura em
. Se o canal tiver largura finita
em
, o
total seria multiplicado por
.
Passo 8
Velocidade média
e relação com
.
Velocidade média (definição):
Usando o
obtido:
Em termos de queda de pressão:
Comparando com
obtém-se:
Portanto
Passo 9
Ponto(s) onde a velocidade é igual à velocidade média (ponto de velocidade média).
Resolver
. Usando formas já obtidas:
Posso cancelar
(não nulo), obtendo a equação quadrática:
Escrevendo em forma padrão:
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Interpretação:
- existem dois pontos simétricos em relação ao centro
onde ; - numericamente
, ou seja e .
Passo 10
Resumo das considerações matemáticas importantes usadas na dedução (mini-aula em forma de checklist):
- escolha do volume de controle elemental para escrever o equilíbrio de forças em
e obter ; - hipótese de fluido newtoniano para relacionar
; - uso de escoamento totalmente desenvolvido para tornar
constante e ; - integração da ODE de segunda ordem com aplicação das condições de contorno (no-slip) para determinar constantes de integração;
- cálculo da vazão por integração direta do perfil e substituição de
para expressar em termos de queda de pressão; - solução da equação quadrática para achar os pontos onde
; - interpretação física dos sinais: normalmente
, por isso introduzimos para clareza.