Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e 55^{\circ} \mathrm{C}. O fluido hidráulico é óleo SAE 10W. Uma válvula de controle consiste em um pistão com 25 mm de diâmetro montado num cilindro com uma folga radial média de 0,005 \mathrm{~mm}. Determine a vazão em volume do vazamento se a pressão manométrica do lado de baixa pressão do pistão for 1,0 \mathrm{Mpa}. ( O pistão tem 15 mm de comprimento). Para óleo SAE 10 W a 55^{\circ} \mathrm{C}, \mu=0,018 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}), da Fig. A.2, Apêndice A. (Fox): S G=0,92

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a vazão volumétrica do vazamento entre o pistão e o cilindro, ou seja, Q em \mathrm{m^{3}/s} (e em unidades práticas).
Informações fornecidas (peguei estas informações do enunciado e da figura):
  • Diâmetro do pistão: D=25\\ \mathrm{mm}.
  • Folga radial média: a=0,005\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento do pistão (comprimento do furo/slot pelo qual o fluido passa): L=15\\ \mathrm{mm}.
  • Pressão manométrica no lado de alta pressão: p_1=20\\ \mathrm{MPa}.
  • Pressão manométrica no lado de baixa pressão: p_2=1{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Viscosidade dinâmica do óleo SAE 10W a 55\,^\circ\mathrm{C}: \mu=0{,}018\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
  • Gravidade específica (densidade relativa): \mathrm{SG}=0{,}92.
Observações importantes (serão usadas na resolução):
  • Vou trabalhar em unidades SI, então é necessário converter D, a e L para metros e p_1,p_2 para pascal.
  • A folga radial é muito pequena comparada ao diâmetro, então é apropriado aproximar o escoamento na pequena cavidade como escoamento por uma fenda estreita (duas placas paralelas) de largura efetiva igual ao comprimento total ao redor do pistão (comprimento lateral = circunferência \pi D). Essa aproximação leva à fórmula de escoamento de Poiseuille entre placas paralelas para regime laminar.

Passo 2

Escolha do modelo físico e fórmula básica:
  • Para uma fenda estreita de altura h (espessura da fenda) e largura total W (no nosso caso a largura é a circunferência ao redor do pistão), com diferença de pressão \Delta p ao longo de um comprimento L, o fluxo volumétrico laminar (solução de Poiseuille para placas paralelas) é dado por:
Q = \frac{W\,h^{3}}{12\,\mu\,L}\,\Delta p.
Explicando cada termo:
  • Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}).
  • W: largura total do canal visto axialmente; aqui W é a circunferência do pistão, W=\pi D ( \mathrm{m}).
  • h: espessura da fenda (gap radial), ou seja h=a ( \mathrm{m}).
  • \mu: viscosidade dinâmica do fluido ( \mathrm{kg/(m\cdot s)} ou \mathrm{Pa\cdot s}).
  • L: comprimento ao longo do qual ocorre a queda de pressão ( \mathrm{m}).
  • \Delta p: diferença de pressão ao longo do comprimento, \Delta p = p_1-p_2 (Pa).
Justificativa curta do modelo:
  • A folga radial é muito pequena ( a\ll D), então o escoamento ao longo do comprimento do pistão pode ser tratado como muitas pequenas fendas axiais cuja largura total é a circunferência. Para pequenas aberturas e baixo número de Reynolds, a lei de Poiseuille entre placas é adequada.

Passo 3

Conversões para SI e cálculo de \Delta p:
  • Converter D, a, L, p_1, p_2 para unidades SI:
D = 25\\ \mathrm{mm} = 0,025\\ \mathrm{m},
a = 0,005\\ \mathrm{mm} = 0,005\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m},
L = 15\\ \mathrm{mm} = 0,015\\ \mathrm{m},
p_1 = 20\\ \mathrm{MPa} = 20\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 1{,}0\\ \mathrm{MPa} = 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença de pressão:
\Delta p = p_1-p_2 = (20-1{,}0)\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 19\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Largura total W (circunferência):
W=\pi D=\pi\cdot0,025\\ \mathrm{m}\approx 0{,}07854\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo dos termos numéricos na fórmula:
  • Primeiro calcule h^{3}=a^{3}:
a^{3}=(5{,}0\times10^{-6})^{3}=125{,}0\times10^{-18}=1{,}25\times10^{-16}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Produto W\,a^{3}\,\Delta p:
W\,a^{3}\,\Delta p \approx 0{,}07854 \times 1{,}25\times10^{-16} \times 19\times10^{6}.
Façamos em etapas:
1{,}25\times10^{-16}\times19\times10^{6} = 1{,}25\times19\times10^{-10} = 23{,}75\times10^{-10} = 2{,}375\times10^{-9}.
0{,}07854\times2{,}375\times10^{-9} \approx 1{,}865\times10^{-10}.
  • Denominador 12\,\mu\,L:
12\,\mu\,L = 12\times 0{,}018\times 0{,}015.
0{,}018\times0{,}015=0{,}00027,
12\times0{,}00027=0{,}00324.
  • Agora Q:
Q = \frac{1{,}865\times10^{-10}}{0{,}00324} \approx 5{,}76\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Conversões práticas e verificação das hipóteses (regime laminar):
  • Converter Q para \mathrm{mL/min} (1 \mathrm{m^{3}}=10^{6}\\ \mathrm{mL}):
Q = 5{,}76\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 5{,}76\times10^{-2}\\ \mathrm{mL/s}.
Q_{\text{(mL/min)}} = 0{,}0576\\ \mathrm{mL/s}\times60 = 3{,}456\\ \mathrm{mL/min}\\ (\text{aprox. }3{,}46\\ \mathrm{mL/min}).
  • Também em \mathrm{L/min}:
Q = 3{,}456\times10^{-3}\\ \mathrm{L/min} \approx 0{,}00346\\ \mathrm{L/min}.
  • Verificação do regime (cálculo aproximado do número de Reynolds na fenda):
    • Densidade do óleo: \rho = \mathrm{SG}\times1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 0{,}92\times1000 = 920\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Área da seção do escoamento A = W\cdot a = \pi D \, a:
A = 0{,}07854 \times 5{,}0\times10^{-6} \approx 3{,}927\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média aproximada U = Q/A:
U \approx \frac{5{,}76\times10^{-8}}{3{,}927\times10^{-7}} \approx 0{,}147\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds característico (com a como dimensão característica):
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,U\,a}{\mu} = \frac{920\times0{,}147\times5{,}0\times10^{-6}}{0{,}018}.
920\times0{,}147\times5{,}0\times10^{-6}\approx 6{,}75\times10^{-4},
\mathrm{Re}\approx \frac{6{,}75\times10^{-4}}{0{,}018}\approx 0{,}0375.
  • Conclusão sobre o regime: \mathrm{Re}\ll1, portanto o escoamento é laminar e a aproximação de Poiseuille (placas paralelas) é válida.

Passo 6

Resumo interpretativo e valor final (breve incentivo):
  • A vazão de vazamento é muito pequena (da ordem de mililitros por minuto), o que é típico para folgas tão pequenas e óleos viscosos em altas pressões. Boa notícia: o resultado faz sentido físico e as hipóteses usadas (fenda estreita, regime laminar) foram verificadas.

Resposta

Q = 5{,}76\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}/s}
Q \approx 3{,}46\\ \mathrm{mL/min}

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