Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e
. O fluido hidráulico é óleo SAE 10W. Uma válvula de controle consiste em um pistão com 25 mm de diâmetro montado num cilindro com uma folga radial média de
. Determine a vazão em volume do vazamento se a pressão manométrica do lado de baixa pressão do pistão for
. ( O pistão tem 15 mm de comprimento). Para óleo SAE 10 W a
, da Fig. A.2, Apêndice A. (Fox):
Passo 1
O que o problema pede:
- Determinar a vazão volumétrica do vazamento entre o pistão e o cilindro, ou seja,
em (e em unidades práticas).
Informações fornecidas (peguei estas informações do enunciado e da figura):
- Diâmetro do pistão:
. - Folga radial média:
. - Comprimento do pistão (comprimento do furo/slot pelo qual o fluido passa):
. - Pressão manométrica no lado de alta pressão:
. - Pressão manométrica no lado de baixa pressão:
. - Viscosidade dinâmica do óleo SAE 10W a
: . - Gravidade específica (densidade relativa):
.
Observações importantes (serão usadas na resolução):
- Vou trabalhar em unidades SI, então é necessário converter
, e para metros e para pascal. - A folga radial é muito pequena comparada ao diâmetro, então é apropriado aproximar o escoamento na pequena cavidade como escoamento por uma fenda estreita (duas placas paralelas) de largura efetiva igual ao comprimento total ao redor do pistão (comprimento lateral = circunferência
). Essa aproximação leva à fórmula de escoamento de Poiseuille entre placas paralelas para regime laminar.
Passo 2
Escolha do modelo físico e fórmula básica:
- Para uma fenda estreita de altura
(espessura da fenda) e largura total (no nosso caso a largura é a circunferência ao redor do pistão), com diferença de pressão ao longo de um comprimento , o fluxo volumétrico laminar (solução de Poiseuille para placas paralelas) é dado por:
Explicando cada termo:
-
: vazão volumétrica ( ). -
: largura total do canal visto axialmente; aqui é a circunferência do pistão, ( ). -
: espessura da fenda (gap radial), ou seja ( ). -
: viscosidade dinâmica do fluido ( ou ). -
: comprimento ao longo do qual ocorre a queda de pressão ( ). -
: diferença de pressão ao longo do comprimento, (Pa).
Justificativa curta do modelo:
- A folga radial é muito pequena (
), então o escoamento ao longo do comprimento do pistão pode ser tratado como muitas pequenas fendas axiais cuja largura total é a circunferência. Para pequenas aberturas e baixo número de Reynolds, a lei de Poiseuille entre placas é adequada.
Passo 3
Conversões para SI e cálculo de
:
- Converter
, , , , para unidades SI:
- Diferença de pressão:
- Largura total
(circunferência):
Passo 4
Cálculo dos termos numéricos na fórmula:
- Primeiro calcule
:
- Produto
:
Façamos em etapas:
- Denominador
:
- Agora
:
Passo 5
Conversões práticas e verificação das hipóteses (regime laminar):
- Converter
para (1 ):
- Também em
:
- Verificação do regime (cálculo aproximado do número de Reynolds na fenda):
- Densidade do óleo:
. - Área da seção do escoamento
:
- Densidade do óleo:
- Velocidade média aproximada
:
- Número de Reynolds característico (com
como dimensão característica):
- Conclusão sobre o regime:
, portanto o escoamento é laminar e a aproximação de Poiseuille (placas paralelas) é válida.
Passo 6
Resumo interpretativo e valor final (breve incentivo):
- A vazão de vazamento é muito pequena (da ordem de mililitros por minuto), o que é típico para folgas tão pequenas e óleos viscosos em altas pressões. Boa notícia: o resultado faz sentido físico e as hipóteses usadas (fenda estreita, regime laminar) foram verificadas.