Sob que condições o campo de velocidade abaixo representa um escoamento incompressível, irrotacional?
\mathbf{V}=\left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z\right) \mathbf{i}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z\right) \mathbf{j}+\left(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade linear em x,y,z:
\mathbf{V}=(a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z)\,\mathbf{i}+(a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z)\,\mathbf{j}+(a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z)\,\mathbf{k}
As perguntas implícitas são:
  • Quais condições entre os coeficientes a_{i},b_{i},c_{i} fazem com que o escoamento seja incompressível?
  • Quais condições fazem com que o escoamento seja irrotacional?
  • E, se possível, quais condições simultâneas garantem ambos (incompressível e irrotacional)?
As informações relevantes são os nove coeficientes a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3} que aparecem linearmente no campo.

Passo 2

Entender o que significa “incompressível” e como testar isso.
Definição prática (fórmula): um campo de velocidade é incompressível se a sua divergência é zero em todo o domínio. A divergência mede a taxa local de variação de volume do fluido.
Fórmula da divergência para \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z):
\mathrm{div}\,\mathbf{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
Aqui V_x=a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z, V_y=a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z, V_z=a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z. Calculo cada derivada parcial (lembrando que derivada de a x em relação a x é a, e a derivada em relação a outra variável é zero):
\frac{\partial V_x}{\partial x}=a_{1},\qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=b_{2},\qquad \frac{\partial V_z}{\partial z}=c_{3}.
Portanto
\mathrm{div}\,\mathbf{V}=a_{1}+b_{2}+c_{3}.
Condição para incompressibilidade:
a_{1}+b_{2}+c_{3}=0.

Passo 3

Entender o que significa “irrotacional” e como testar isso.
Definição prática (fórmula): um campo é irrotacional se o seu rotacional (curl) é o vetor nulo em todo o domínio. O rotacional mede a tendência local do fluido a girar.
Fórmula do rotacional para \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z):
\mathrm{curl}\,\mathbf{V}=\nabla\times\mathbf{V}=\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)\mathbf{k}.
Calculemos cada componente usando as expressões lineares:
  • Para a componente \mathbf{i}:
\frac{\partial V_z}{\partial y}=b_{3},\qquad \frac{\partial V_y}{\partial z}=c_{2},
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(\mathrm{curl}\,\mathbf{V})_x=b_{3}-c_{2}.
  • Para a componente \mathbf{j}:
\frac{\partial V_x}{\partial z}=c_{1},\qquad \frac{\partial V_z}{\partial x}=a_{3},
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(\mathrm{curl}\,\mathbf{V})_y=c_{1}-a_{3}.
  • Para a componente \mathbf{k}:
\frac{\partial V_y}{\partial x}=a_{2},\qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=b_{1},
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(\mathrm{curl}\,\mathbf{V})_z=a_{2}-b_{1}.
Condição para irrotacionalidade (todas as componentes do rotacional nulas):
b_{3}-c_{2}=0,\qquad c_{1}-a_{3}=0,\qquad a_{2}-b_{1}=0.
Equivalente a:
b_{3}=c_{2},\qquad c_{1}=a_{3},\qquad a_{2}=b_{1}.

Passo 4

Reunindo as condições para que o campo seja simultaneamente incompressível e irrotacional.
  • Incompressível:
a_{1}+b_{2}+c_{3}=0.
  • Irrotacional:
b_{3}=c_{2},\qquad c_{1}=a_{3},\qquad a_{2}=b_{1}.
Essas quatro igualdades (uma dodivergência e três do rotacional) são as condições necessárias e suficientes, já que o campo é linear e as derivadas são constantes.

Passo 5

Comentário adicional didático (como reconhecer e usar isso na prova).
  • Se as três igualdades do rotacional valem, então existe localmente uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \mathbf{V}=\nabla\varphi (em um domínio simplesmente conexo). Para este campo linear, integrando \nabla\varphi=\mathbf{V} obtém-se
\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{2}a_{1}x^{2}+b_{1}xy+c_{1}xz+\tfrac{1}{2}b_{2}y^{2}+c_{2}yz+\tfrac{1}{2}c_{3}z^{2}+C,
desde que as igualdades a_{2}=b_{1}, a_{3}=c_{1}, b_{3}=c_{2} sejam satisfeitas (essas garantem a compatibilidade das integrais).
  • Se além disso a condição da divergência a_{1}+b_{2}+c_{3}=0 vale, então \varphi satisfaz a equação de Laplace \nabla^{2}\varphi=0 (ou seja, \varphi é harmônica). Isso é natural: escoamento irrotacional e incompressível corresponde a potencial harmônico.

Resposta

a_{1}+b_{2}+c_{3}=0
b_{3}=c_{2}
c_{1}=a_{3}
a_{2}=b_{1}

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