Sob que condições o campo de velocidade abaixo representa um escoamento incompressível, irrotacional?
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade linear em
:
As perguntas implícitas são:
- Quais condições entre os coeficientes
fazem com que o escoamento seja incompressível? - Quais condições fazem com que o escoamento seja irrotacional?
- E, se possível, quais condições simultâneas garantem ambos (incompressível e irrotacional)?
As informações relevantes são os nove coeficientes
que aparecem linearmente no campo.
Passo 2
Entender o que significa “incompressível” e como testar isso.
Definição prática (fórmula): um campo de velocidade é incompressível se a sua divergência é zero em todo o domínio. A divergência mede a taxa local de variação de volume do fluido.
Fórmula da divergência para
:
Aqui
,
,
. Calculo cada derivada parcial (lembrando que derivada de
em relação a
é
, e a derivada em relação a outra variável é zero):
Portanto
Condição para incompressibilidade:
Passo 3
Entender o que significa “irrotacional” e como testar isso.
Definição prática (fórmula): um campo é irrotacional se o seu rotacional (curl) é o vetor nulo em todo o domínio. O rotacional mede a tendência local do fluido a girar.
Fórmula do rotacional para
:
Calculemos cada componente usando as expressões lineares:
- Para a componente
:
logo
- Para a componente
:
logo
- Para a componente
:
logo
Condição para irrotacionalidade (todas as componentes do rotacional nulas):
Equivalente a:
Passo 4
Reunindo as condições para que o campo seja simultaneamente incompressível e irrotacional.
- Incompressível:
- Irrotacional:
Essas quatro igualdades (uma dodivergência e três do rotacional) são as condições necessárias e suficientes, já que o campo é linear e as derivadas são constantes.
Passo 5
Comentário adicional didático (como reconhecer e usar isso na prova).
- Se as três igualdades do rotacional valem, então existe localmente uma função potencial
tal que (em um domínio simplesmente conexo). Para este campo linear, integrando obtém-se
desde que as igualdades
,
,
sejam satisfeitas (essas garantem a compatibilidade das integrais).
- Se além disso a condição da divergência
vale, então satisfaz a equação de Laplace (ou seja, é harmônica). Isso é natural: escoamento irrotacional e incompressível corresponde a potencial harmônico.