Escoamento no tubo de um reservatório: Queda de pressão desconhecida - Um tubo liso horizontal com 100 m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de 0,0084 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água? O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm . A entrada é de bordas vivas e a água descarrega para a atmosfera.
Admita as seguintes propriedades do fluido (água): massa específica do fluido =10^{3} \mathbf{k g} / \mathbf{m}^{3} e viscosidade absoluta =\mathbf{1} / \mathbf{1 0}^{\mathbf{3}} \mathbf{~ k g} / \mathbf{m} . \mathbf{s}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei os valores de D e L da imagem).
  • O que se pede: determinar a profundidade d do reservatório para que a vazão seja \,Q=0,0084\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Dados do enunciado:
    • Vazão: Q=0,0084\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Diâmetro interno do tubo (peguei da imagem): D=75\\ \mathrm{mm}=0,075\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do tubo (peguei da imagem): L=100\\ \mathrm{m}.
    • Entrada de bordas vivas (entrada afunilada brusca) — isto impõe uma perda local de entrada.
    • Saída para a atmosfera (pressão do ponto de saída igual à atmosférica).
    • Propriedades da água:
      • Densidade: \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
      • Viscosidade dinâmica: \mu=1/10^{3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}=0,001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Observação sobre perdas que vamos incluir: perda de entrada (por borda viva) e perda por atrito ao longo do tubo. A descarga é direta para a atmosfera, portanto não aplicamos perda extra de saída além da energia cinética do escoamento no bocal.

Passo 2

Montagem da equação de energia (Bernoulli estendida) entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a seção de saída do tubo (ponto 2).
Explicação física e fórmula usada:
  • Coloco o nível de referência de alturas de modo que a diferença de cota entre a superfície livre e o eixo do tubo na saída seja d. A superfície livre tem velocidade negligenciável ( v_1\approx0) e pressão atmosférica; a saída também está à pressão atmosférica e tem velocidade v_2=V.
  • A forma reduzida da equação de Bernoulli incluindo perdas é:
\text{(cota em 1)} = \text{(cota em 2)} + \frac{V^{2}}{2g} + h_{\text{perdas}},
onde h_{\text{perdas}} é a soma das perdas (entrada + atrito). Como a diferença de cota é d, obtemos:
d = \frac{V^{2}}{2g} + h_{\text{entrada}} + h_{\text{atrito}}.
  • As perdas são expressas em termos da velocidade V:
    • perda de entrada por borda viva: \;h_{\text{entrada}} = k_{e}\,\dfrac{V^{2}}{2g}, com k_{e}\approx 0{,}5 para entrada de borda viva (valor padrão).
    • perda por atrito ao longo do tubo (equação de Darcy–Weisbach):
    h_{\text{atrito}} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},em que f é o coeficiente de atrito de Darcy (dependente de Reynolds e rugosidade).
  • Agrupando:
d = \frac{V^{2}}{2g}\left(1 + k_{e} + f\frac{L}{D}\right).
Explicação das variáveis:
  • V: velocidade média no tubo (m/s).
  • g: aceleração da gravidade, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • k_{e}: coeficiente de perda de entrada (adoto k_{e}=0{,}5 para bordas vivas).
  • f: fator de atrito (adimensional), que vamos estimar a partir do número de Reynolds e da condição de tubo liso.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal e a velocidade média V a partir de Q.
  • Área:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0,075)^{2}}{4}.
Vamos calcular passo a passo:
D^{2} = 0,075^{2}=0,005625,
A = \frac{\pi \cdot 0,005625}{4} \approx 0,004418\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,0084}{0,004418}\approx 1,9009\\ \mathrm{m/s}.
(Guarde este V para usar nas perdas.)

Passo 4

Determinar o número de Reynolds e o regime de escoamento; escolher método para obter f.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{10^{3}\cdot 1,9009\cdot 0,075}{0,001}.
Cálculo:
\rho V D = 1000\cdot 1,9009\cdot 0,075 \approx 142,57,
\mathrm{Re}\approx \frac{142,57}{0,001}=142567\approx 1{,}43\times 10^{5}.
  • Interpretação: \mathrm{Re}\gg 4000, portanto o escoamento é turbulento. O tubo é especificado como “liso”, então a rugosidade relativa é muito pequena; usamos uma correlação apropriada para tubo liso.
  • Escolha do método para f: para escoamento turbulento em tubos lisos uma aproximação simples e com boa precisão é a fórmula de Blasius (válida aproximadamente até \mathrm{Re}\sim 10^{5}) ou a forma empírica f=0{,}184\,\mathrm{Re}^{-0{,}2} (válida para faixas maiores). Vou usar a fórmula de Blasius, que dá:
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}.
(Observação: nosso \mathrm{Re} é um pouco maior que 10^{5}, mas a diferença entre Blasius e outras fórmulas é pequena; podemos comentar a sensibilidade ao final.)
  • Calcule f:
f = 0{,}3164\cdot(1{,}42567\times 10^{5})^{-0{,}25}.
Avaliação numérica:
(1{,}42567\times 10^{5})^{-0{,}25}\approx 0{,}0515\quad\Rightarrow\quad f\approx 0{,}3164\cdot 0{,}0515\approx 0{,}01631.

Passo 5

Calcular cada termo de energia e somar para obter d.
  • Primeiro a cabeça cinética:
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(1{,}9009)^{2}}{2\cdot 9{,}81}.
Cálculo:
V^{2}=1{,}9009^{2}\approx 3{,}612,
\frac{V^{2}}{2g}\approx \frac{3{,}612}{19{,}62}\approx 0{,}1842\\ \mathrm{m}.
  • Perda de entrada (bordas vivas, k_{e}=0{,}5):
h_{\text{entrada}} = k_{e}\,\frac{V^{2}}{2g}=0{,}5\cdot 0{,}1842\approx 0{,}0921\\ \mathrm{m}.
  • Perda por atrito (Darcy–Weisbach):
h_{\text{atrito}} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
Calcule L/D:
\frac{L}{D}=\frac{100}{0,075}=1333{,}333\ldots
Agora:
f\frac{L}{D}=0{,}01631\cdot 1333{,}333\approx 21{,}747.
h_{\text{atrito}} = 21{,}747\cdot 0{,}1842 \approx 4{,}004\\ \mathrm{m}.
  • Soma total (usando a fórmula agrupada):
d = \frac{V^{2}}{2g}\left(1 + k_{e} + f\frac{L}{D}\right).
Numéricamente:
d = 0{,}1842\left(1 + 0{,}5 + 21{,}747\right) = 0{,}1842\cdot 23{,}247 \approx 4{,}280\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido físico, \;d\approx 4{,}28\\ \mathrm{m}.
Breve comentário sobre sensibilidade: se tivéssemos usado a outra aproximação empírica f=0{,}184\,\mathrm{Re}^{-0{,}2} obteríamos um f ligeiramente maior ( \approx 0{,}0172) e isso levaria a d muito próximo, cerca de 4{,}35\\ \mathrm{m}. Portanto o resultado é pouco sensível ao método usado para f nesta faixa.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: o resultado indica que a perda por atrito ao longo dos 100\\ \mathrm{m} domina (cerca de 4{,}00\\ \mathrm{m}), enquanto as pequenas perdas locais (entrada e a cabeça cinética) são modestos. Isso é típico: em tubos longos o atrito manda no cabeçote necessário. Você já está vendo que calcular V, \mathrm{Re} e f corretamente é a parte central para estimar d. Vai dar certo na prova — respira, confia no passo a passo e pratica mais um ou dois problemas similares!

Resposta

d \approx 4{,}28\\ \mathrm{m}

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