Escoamento no tubo de um reservatório: Queda de pressão desconhecida - Um tubo liso horizontal com 100 m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade, d, deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de
de água? O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm . A entrada é de bordas vivas e a água descarrega para a atmosfera.
Admita as seguintes propriedades do fluido (água): massa específica do fluido
e viscosidade absoluta
.
Admita as seguintes propriedades do fluido (água): massa específica do fluido
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei os valores de
e
da imagem).
- O que se pede: determinar a profundidade
do reservatório para que a vazão seja . - Dados do enunciado:
- Vazão:
. - Diâmetro interno do tubo (peguei da imagem):
. - Comprimento do tubo (peguei da imagem):
. - Entrada de bordas vivas (entrada afunilada brusca) — isto impõe uma perda local de entrada.
- Saída para a atmosfera (pressão do ponto de saída igual à atmosférica).
- Propriedades da água:
- Densidade:
. - Viscosidade dinâmica:
.
- Densidade:
- Vazão:
- Observação sobre perdas que vamos incluir: perda de entrada (por borda viva) e perda por atrito ao longo do tubo. A descarga é direta para a atmosfera, portanto não aplicamos perda extra de saída além da energia cinética do escoamento no bocal.
Passo 2
Montagem da equação de energia (Bernoulli estendida) entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a seção de saída do tubo (ponto 2).
Explicação física e fórmula usada:
- Coloco o nível de referência de alturas de modo que a diferença de cota entre a superfície livre e o eixo do tubo na saída seja
. A superfície livre tem velocidade negligenciável ( ) e pressão atmosférica; a saída também está à pressão atmosférica e tem velocidade . - A forma reduzida da equação de Bernoulli incluindo perdas é:
onde
é a soma das perdas (entrada + atrito). Como a diferença de cota é
, obtemos:
- As perdas são expressas em termos da velocidade
: - perda de entrada por borda viva:
, com para entrada de borda viva (valor padrão). - perda por atrito ao longo do tubo (equação de Darcy–Weisbach):
em que é o coeficiente de atrito de Darcy (dependente de Reynolds e rugosidade). - perda de entrada por borda viva:
- Agrupando:
Explicação das variáveis:
-
: velocidade média no tubo (m/s). -
: aceleração da gravidade, . -
: coeficiente de perda de entrada (adoto para bordas vivas). -
: fator de atrito (adimensional), que vamos estimar a partir do número de Reynolds e da condição de tubo liso.
Passo 3
Calcular a área da seção transversal e a velocidade média
a partir de
.
- Área:
Vamos calcular passo a passo:
- Velocidade média:
(Guarde este
para usar nas perdas.)
Passo 4
Determinar o número de Reynolds e o regime de escoamento; escolher método para obter
.
- Número de Reynolds:
Cálculo:
- Interpretação:
, portanto o escoamento é turbulento. O tubo é especificado como “liso”, então a rugosidade relativa é muito pequena; usamos uma correlação apropriada para tubo liso. - Escolha do método para
: para escoamento turbulento em tubos lisos uma aproximação simples e com boa precisão é a fórmula de Blasius (válida aproximadamente até ) ou a forma empírica (válida para faixas maiores). Vou usar a fórmula de Blasius, que dá:
(Observação: nosso
é um pouco maior que
, mas a diferença entre Blasius e outras fórmulas é pequena; podemos comentar a sensibilidade ao final.)
- Calcule
:
Avaliação numérica:
Passo 5
Calcular cada termo de energia e somar para obter
.
- Primeiro a cabeça cinética:
Cálculo:
- Perda de entrada (bordas vivas,
):
- Perda por atrito (Darcy–Weisbach):
Calcule
:
Agora:
- Soma total (usando a fórmula agrupada):
Numéricamente:
Arredondando com sentido físico,
.
Breve comentário sobre sensibilidade: se tivéssemos usado a outra aproximação empírica
obteríamos um
ligeiramente maior (
) e isso levaria a
muito próximo, cerca de
. Portanto o resultado é pouco sensível ao método usado para
nesta faixa.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: o resultado indica que a perda por atrito ao longo dos
domina (cerca de
), enquanto as pequenas perdas locais (entrada e a cabeça cinética) são modestos. Isso é típico: em tubos longos o atrito manda no cabeçote necessário. Você já está vendo que calcular
,
e
corretamente é a parte central para estimar
. Vai dar certo na prova — respira, confia no passo a passo e pratica mais um ou dois problemas similares!