Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais:
x(t)=u(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar do sinal x(t)=u(t), onde u(t) é a função degrau unitário. As informações relevantes que temos são:
  • O sinal dado é x(t)=u(t).
  • É preciso encontrar a componente par x_{\text{par}}(t) e a componente ímpar x_{\text{ímpar}}(t)í.
    Vou usar a definição padrão de degrau unitário com a convenção usual em sinais/transformadas:
u(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & t=0 \quad(\text{convenção usual}),\\[4pt] 0, & t<0. \end{cases}çã]

Passo 2

Definições fundamentais (ferramentas que vamos usar). Qualquer sinal x(t) pode ser escrito como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
x_{\text{par}}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, \qquad x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.í
Explicando de maneira simples:
  • A componente par é a média entre o valor do sinal em t e em -t. Isso garante x_{\text{par}}(-t)=x_{\text{par}}(t).
  • A componente ímpar é a metade da diferença entre o valor em t e em -t. Isso garante x_{\text{ímpar}}(-t)=-x_{\text{ímpar}}(t)íí.
    Essas fórmulas são a forma direta e padrão para decompor sinais em par + ímpar na prova — decore elas.

Passo 3

Calcular u(-t). Usando a definição de u(t) acima:
u(-t)=\begin{cases} 1, & -t>0 \Rightarrow t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & t=0,\\[4pt] 0, & -t<0 \Rightarrow t>0. \end{cases}
Ou seja, de forma mais direta:
u(-t)=\begin{cases} 1, & t<0,\\[4pt] \dfrac{1}{2}, & t=0,\\[4pt] 0, & t>0. \end{cases}]

Passo 4

Aplicar as fórmulas de decomposição para três intervalos: t>0, t<0 e t=0.
Caso t>0:
u(t)=1,\qquad u(-t)=0.
Então
x_{\text{par}}(t)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}.í
Caso t<0:
u(t)=0,\qquad u(-t)=1.
Então
x_{\text{par}}(t)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}.í
Caso t=0 (usando a convenção u(0)=\tfrac{1}{2}):
u(0)=\frac{1}{2},\qquad u(-0)=u(0)=\frac{1}{2}.
Então
x_{\text{par}}(0)=\frac{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}, \qquad x_{\text{ímpar}}(0)=\frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}}{2}=0.í

Passo 5

Expressar as respostas de forma compacta e elegante. Observando os resultados para t>0, t<0 e t=0, a componente par é constante \tfrac{1}{2} para todo t. A componente ímpar vale +\tfrac{1}{2} para t>0, -\tfrac{1}{2} para t<0 e 0 em t=0 — isto é exatamente \tfrac{1}{2} vezes a função sinal (signum). Definindo a função sinal:
\operatorname{sgn}(t)=\begin{cases} 1, & t>0,\\[4pt] 0, & t=0,\\[4pt] -1, & t<0, \end{cases}
temos as fórmulas compactas:
x_{\text{par}}(t)=\frac{1}{2}, \qquad x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t).í]

Passo 6

Verificação rápida (para você se sentir seguro na prova):
  • Soma: \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)=u(t) para todos os t com a convenção u(0)=\tfrac{1}{2}. Confira nos três casos t>0,t<0,t=0.
  • Paridade: x_{\text{par}}(-t)=\tfrac{1}{2}=x_{\text{par}}(t) (par) e x_{\text{ímpar}}(-t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(-t)=-\tfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)=-x_{\text{ímpar}}(t)íí (ímpar).

Resposta

x_{\text{par}}(t)=\dfrac{1}{2}
x_{\text{ímpar}}(t)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)í

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