Considerando 6 pontos distintos de uma circunferência. Responda:
Quantos polígonos convexos formados por cinco vértices podem ser formados utilizando somente estes pontos?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo. A gente tem 6 pontos diferentes todos em volta de uma circunferência e quer saber de quantos jeitos dá pra formar polígonos convexos de 5 vértices usando só esses pontos.
Conteúdo: combinatória (combinações) e um pouquinho de geometria (saber que qualquer polígono montado sobre pontos de uma circunferência, com vértices na ordem, é convexo).
O que vamos precisar:
  • Saber que para escolher 5 pontos de um total de 6 usamos combinação.
  • Entender que qualquer seleção de 5 pontos numa circunferência gera um polígono convexo.

Passo 2

Primeiro, a parte de combinatória. Quando falamos “escolher 5 pontos dentre 6”, usamos a fórmula de combinação:
binomnk ;=; n!k!,(n-k)!
Aqui binom65 ;=; 6!5!,(6-5)! e . Então:

Passo 3

Agora a gente coloca na prática:
6! = 6 times 5! e (6-5)! = 1! = 1
Logo
binom65 = 6 times 5!5! times 1 = 6
E, de quebra, qualquer polígono que você formar com cinco pontos numa circunferência é necessariamente convexo, porque os vértices estão “ordenados” em torno do círculo sem que haja reentrâncias.

Resposta

Existem 6 polígonos convexos de 5 vértices que podem ser formados com esses 6 pontos.

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