Considerando os pontos \mathrm{A}=(2,-2) e \mathrm{B}=(3,-5). Qual a equação reduzida da reta que passa por esses pontos?

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano cartesiano e pede a equação reduzida da reta que passa por eles. Os dados são:
  • Ponto A = (2,-2).
  • Ponto B = (3,-5).
A pergunta é: qual é a equação reduzida (forma y = mx + b) da reta que passa por A e B?

Passo 2

Vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é o declive entre os dois pontos. A fórmula do declive m é:
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A},
onde x_A,y_A e x_B,y_B são as coordenadas dos pontos A e B. Isso mede quanto a ordenada muda quando a abscissa aumenta de uma unidade (se m for negativo, a reta desce; se for positivo, sobe).
Substituindo os valores:
m = \frac{-5 - (-2)}{3 - 2} = \frac{-5 + 2}{1} = \frac{-3}{1} = -3.
Interpretação simples: para cada aumento de 1 em x, y diminui em 3.

Passo 3

A forma reduzida da reta é y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear (ordenada na origem), isto é, o valor de y quando x=0. Para encontrar b usamos a fórmula
b = y - m x
avaliada em qualquer ponto conhecido da reta. Vou usar o ponto A=(2,-2).
Substituindo:
b = -2 - (-3)\cdot 2 = -2 + 6 = 4.
Então os parâmetros da reta são m = -3 e b = 4.

Passo 4

Verificação rápida usando o ponto B: calcula-se y previsto por m e b em x=3:
y_{\text{previsto}} = m\cdot 3 + b = -3\cdot 3 + 4 = -9 + 4 = -5,
que coincide com y_B=-5. Portanto A e B realmente pertencem à reta determinada por esses m e b.

Resposta

y=-3x+4

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