Considerando a população X=1,3,5,5,7 e amostras de tamanho n=3. Construa
a. Distribuiçâo amostral da variância S^2 e de . Depois calcule o valor esperado e variância para ambas distribuições amostrais.
b. Distibuição amostral da mediana e forneça o valor esperado e variância

Passo 1

Beleza, o que o exercício está pedindo é:
• Conteúdo: amostras sem reposição de uma população finita e distribuição amostral de estatísticas (variância amostral “clássica” , variância com denominação , e mediana).
• Vamos precisar de:
  1. Saber que, de uma população de 5 elementos , as amostras de tamanho 3 sem reposição são conjuntos, cada um com probabilidade .
  2. As fórmulas
  3. Cálculo de esperança e variância de uma distribuição discreta:
    , .
A partir de agora vamos pôr a mão na massa.

Passo 2

Primeiro, listamos as 10 amostras (valores em ordem crescente) e calculamos, para cada uma:
  1. a soma dos quadrados dos desvios ,
  2. ,
  3. .
Tabela resumida (freqüência e prob. para cada amostra distinta):
Amostra D
(1,3,5) 8 4 2/10
(1,3,7) 1/10
(1,5,5) 1/10
(1,5,7) 2/10
(3,5,5) 1/10
(3,5,7) 8 4 2/10
(5,5,7) 1/10

Passo 3

Agora agrupamos pelos valores de e de :
Distribuição de :
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
Distribuição de :
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 4

Calcular El[(hatsigma^2)^2r] =sum pi,xi^2 approx15.8814 Longrightarrow Var(hatsigma^2)=15.8814-(3.4667)^2approx3.8608 e dessas duas distribuições.
  1. Para El[(S^2)^2r]approx35.7333 Longrightarrow Var(S^2)=35.7333-(5.2)^2approx8.6933 :
    .
  2. Para :

Passo 5

Agora a mediana amostral P(M=3)=0.3, P(M=5)=0.7 (é o 2º menor de cada tripla). Da tabela das amostras:
  • Quando o conjunto é (1,3,5) ou (1,3,7) (p=0.2+0.1=0.3), E[M]=3cdot0.3+5cdot0.7=4.4, E[M^2]=9cdot0.3+25cdot0.7=20.2, Var(M)=20.2-(4.4)^2=0.84 .
  • Nas outras 7 amostras (p=0.7), .
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Resposta

Distribuição amostral e momentos:
a) Variância com denominação :
• Valores:
Variância amostral “clássica” :
• Valores:
b) Mediana :

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