Os dados abaixo representam a distribuição do número de filhos, por família, de uma zona rural.
Número de filhos Porcentagem de famílias
0 10
1 20
2 30
3 25
4 15
Total
Para amostras de tamanho 3 :
a. determine a distribuição amostral de barX;
b. calcule a média e variância de barX;
c. calcule P(|barX-mu|>1).
d. se as amostras fossem de tamanho 4 , a P(|barX-mu|>1) seria maior ou menor do que a probabilidade encontrada em ©?

Passo 1

Beleza, então o exercício é de Estatística (distribuição amostral e probabilidades). A gente tem a distribuição de número de filhos por família numa zona rural (0,1,2,3 ou 4 filhos com certas porcentagens) e vai pegar amostras de tamanho 3 (ou depois de tamanho 4) para:
  1. achar a distribuição da média amostral bar X,
  2. calcular E(bar X) e Var(bar X),
  3. calcular Pl(|bar X-mu|>1r) e
  4. comentar o que mudaria se a amostra fosse de tamanho 4.
    Para isso precisamos lembrar que, se X1,X2,X3 são i.i.d. com distribuição dada, então a média amostral bar X=(X1+X2+X3)/3 tem distribuição obtida por convolução (ou usando a função geradora de probabilidades) e que
E(bar X)=mu, Var(bar X)=sigma^2n,

Passo 2

(a) Distribuição amostral de bar X para n=3
  1. Defino S=X1+X2+X3. Cada Xi vale 0,1,2,3,4 com p0=0.10,p1=0.20,p2=0.30,p3=0.25,p4=0.15.
  2. Calculo P(S=k) pela fórmula de permutações e produtos de probabilidades.
  3. Como bar X=S/3, os possíveis valores são k/3 com k=0,1,2,dots,12.
Segue a tabela (aprox. 4 casas decimais quando necessário):
  • P(bar X=0)=P(S=0)=0.001
  • P(bar X=tfrac13)=P(S=1)=0.006
  • P(bar X=tfrac23)=P(S=2)=0.021
  • P(bar X=1)=P(S=3)=0.0515
  • P(bar X=tfrac43)=P(S=4)=0.0975
  • P(bar X=tfrac53)=P(S=5)=0.1470
  • P(bar X=2)=P(S=6)=0.1808
  • P(bar X=tfrac73)=P(S=7)=0.1815
  • P(bar X=tfrac83)=P(S=8)=0.1485
  • P(bar X=3)=P(S=9)=0.0966
  • P(bar X=tfrac103)=P(S=10)=0.0484
  • P(bar X=tfrac113)=P(S=11)=0.0169
  • P(bar X=4)=P(S=12)=0.0034

Passo 3

(b) Média e variância de bar X
  1. Calculo a média da população: mu=E(X)=0cdot0.1+1cdot0.2+2cdot0.3+3cdot0.25+4cdot0.15=2.15,
    2. Calculo a variância da população:
    E(X^2)=0^2cdot0.1+1^2cdot0.2+2^2cdot0.3+3^2cdot0.25+4^2cdot0.15=6.05 sigma^2=E(X^2)-mu^2=6.05-(2.15)^2=1.4275,
    3. Para bar X com n=3:
    E(bar X)=mu=2.15, Var(bar X)=sigma^23=1.42753approx0.4758,

Passo 4

© Pl(|bar X-mu|>1r)
Queremos
Pl(bar Xmu+1r),
Como mu=2.15, mu-1=1.15 e mu+1=3.15.
- bar X<1.15implies S<3.45implies S<=3implies k=0,1,2,3.
P(S<=3)=0.001+0.006+0.021+0.0515=0.0795,
  • bar X>3.15implies S>9.45implies S>=10implies k=10,11,12. P(S>=10)=0.0484+0.0169+0.0034=0.0687,
    Logo
    Pl(|bar X-2.15|>1r)=0.0795+0.0687=0.1482(aprox)

Passo 5

(d) E se n=4?
Quando a amostra cresce, a variância de bar X cai ( Var(bar X)=sigma^2/n). Isso “aperta” a distribuição em torno de mu e torna menos provável desviar mais de 1. Logo, para n=4, Pl(|bar X-mu|>1r) seria menor do que em ©.

Resposta

a) Distribuição de bar X=S/3 com P(bar X=k/3) dado no passo 2.
b) E(bar X)=2.15,;Var(bar X)=0.4758
c) P(|bar X-mu|>1)approx0.1482
d) Para n=4 essa probabilidade seria menor.

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