Os dados abaixo representam a distribuição do número de filhos, por família, de uma zona rural.
Número de filhos | Porcentagem de famílias |
---|---|
0 | 10 |
1 | 20 |
2 | 30 |
3 | 25 |
4 | 15 |
Total |
Para amostras de tamanho 3 :
a. determine a distribuição amostral de ;
b. calcule a média e variância de ;
c. calcule .
d. se as amostras fossem de tamanho 4 , a seria maior ou menor do que a probabilidade encontrada em ©?
a. determine a distribuição amostral de
b. calcule a média e variância de
c. calcule
d. se as amostras fossem de tamanho 4 , a
Passo 1
Beleza, então o exercício é de Estatística (distribuição amostral e probabilidades). A gente tem a distribuição de número de filhos por família numa zona rural (0,1,2,3 ou 4 filhos com certas porcentagens) e vai pegar amostras de tamanho 3 (ou depois de tamanho 4) para:
- achar a distribuição da média amostral
, - calcular
e , - calcular
e - comentar o que mudaria se a amostra fosse de tamanho 4.
Para isso precisamos lembrar que, sesão i.i.d. com distribuição dada, então a média amostral tem distribuição obtida por convolução (ou usando a função geradora de probabilidades) e que
Passo 2
(a) Distribuição amostral de
para
- Defino
. Cada vale 0,1,2,3,4 com . - Calculo
pela fórmula de permutações e produtos de probabilidades. - Como
, os possíveis valores são com .
Segue a tabela (aprox. 4 casas decimais quando necessário):
Passo 3
(b) Média e variância de
- Calculo a média da população:
2. Calculo a variância da população:
3. Paracom :
Passo 4
©
Queremos
Queremos
Como
-
-
.
Logo
Passo 5
(d) E se
?
Quando a amostra cresce, a variância de cai (
). Isso “aperta” a distribuição em torno de
e torna menos provável desviar mais de 1. Logo, para
,
seria menor do que em ©.
Quando a amostra cresce, a variância de
Resposta
a) Distribuição de
com
dado no passo 2.
b)
c)
d) Para essa probabilidade seria menor.
b)
c)
d) Para