Substituindo x por 0,5 c(1+\cos \theta) e x_{0} por 0,5 c\left(1+\cos \theta_{0}\right), escreva uma relação integral para u(x, 0) devido a
Uma lâmina de fonte \sigma\left(x_{0}\right) ao longo do eixo horizontal entre a origem e x_{0}=c.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva uma relação integral para u(x,0) — o potencial na linha y=0 — devido a uma lâmina de fonte com densidade \sigma(x_{0}) ao longo do eixo x entre x_{0}=0 e x_{0}=c, depois de fazer as substituições
A lâmina está no intervalo [0,c] ao longo do eixo horizontal.
A densidade de fonte é \sigma(x_{0}).
As substituições acima relacionam x e x_{0} a ângulos \theta e \theta_{0}.
Presumo a forma padrão (logarítmica, típica em 2D) da contribuição elementar de uma fonte localizada em x_{0} para o potencial em x, que é proporcional a \ln|x-x_{0}|. Assim a expressão inicial que vou transformar é
Agora identifico os limites: x_{0}=0 corresponde a \theta_{0}=\pi e x_{0}=c corresponde a \theta_{0}=0. Assim a integral em x_{0} de 0 a c se transforma em integral em \theta_{0} de \pi a 0 com o fator dx_{0} acima.
Passo 3
Troco a ordem dos limites para ficar de 0 a \pi (o que troca o sinal do diferencial). Usando dx_{0}=-\tfrac{1}{2}c\sin\theta_{0}\,d\theta_{0} e invertendo os limites,
Substituo esta expressão dentro do logaritmo na integral obtida no Passo 3. Como \ln|x-x_{0}|=\ln c+\ln\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\bigr)\bigr|, a integral fica
u(x,0)=\frac{c}{2}\int_{0}^{\pi}\tilde{\sigma}(\theta_{0})\Biggl[\ln c +\ln\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|\Biggr]\sin\theta_{0}\;d\theta_{0},
onde \theta é o ângulo associado a x pela substituição x=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta).
Passo 6
Posso separar o termo constante \ln c fora do log para escrever a relação em forma mais explícita:
Isto é uma relação integral para u expressa na variável angular \theta. Se preferir, voltando à notação original de \sigma(x_{0}) (avaliada em x_{0}=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0})) a expressão anterior é plenamente equivalente.
Resposta
u(x,0)=\frac{c}{2}\int_{0}^{\pi}\sigma\!\Bigl(\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0})\Bigr)\Biggl[\ln c +\ln\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|\Biggr]\sin\theta_{0}\;d\theta_{0},
onde \theta é dado por \;x=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta).