Substituindo x por 0,5 c(1+\cos \theta) e x_{0} por 0,5 c\left(1+\cos \theta_{0}\right), escreva uma relação integral para u(x, 0) devido a
Uma lâmina de fonte \sigma\left(x_{0}\right) ao longo do eixo horizontal entre a origem e x_{0}=c.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva uma relação integral para u(x,0) — o potencial na linha y=0 — devido a uma lâmina de fonte com densidade \sigma(x_{0}) ao longo do eixo x entre x_{0}=0 e x_{0}=c, depois de fazer as substituições
x=\tfrac{1}{2}c\bigl(1+\cos\theta\bigr) \qquad\text{e}\qquad x_{0}=\tfrac{1}{2}c\bigl(1+\cos\theta_{0}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A lâmina está no intervalo [0,c] ao longo do eixo horizontal.
  • A densidade de fonte é \sigma(x_{0}).
  • As substituições acima relacionam x e x_{0} a ângulos \theta e \theta_{0}.
  • Presumo a forma padrão (logarítmica, típica em 2D) da contribuição elementar de uma fonte localizada em x_{0} para o potencial em x, que é proporcional a \ln|x-x_{0}|. Assim a expressão inicial que vou transformar é
u(x,0)=\int_{0}^{c}\sigma(x_{0})\ln|x-x_{0}|\;dx_{0}.

Passo 2

Primeiro converto dx_{0} para a variável angular \theta_{0}. A substituição dada é
x_{0}=\tfrac{1}{2}c\bigl(1+\cos\theta_{0}\bigr).
Derivando em relação a \theta_{0} obtenho
\frac{dx_{0}}{d\theta_{0}}=-\tfrac{1}{2}c\sin\theta_{0},
portanto
dx_{0}=-\tfrac{1}{2}c\sin\theta_{0}\;d\theta_{0}.
Agora identifico os limites: x_{0}=0 corresponde a \theta_{0}=\pi e x_{0}=c corresponde a \theta_{0}=0. Assim a integral em x_{0} de 0 a c se transforma em integral em \theta_{0} de \pi a 0 com o fator dx_{0} acima.

Passo 3

Troco a ordem dos limites para ficar de 0 a \pi (o que troca o sinal do diferencial). Usando dx_{0}=-\tfrac{1}{2}c\sin\theta_{0}\,d\theta_{0} e invertendo os limites,
\int_{0}^{c}\sigma(x_{0})\ln|x-x_{0}|\;dx_{0} = \int_{0}^{\pi}\sigma\!\bigl(x_{0}(\theta_{0})\bigr)\ln\bigl|x-x_{0}(\theta_{0})\bigr|\;\tfrac{c}{2}\sin\theta_{0}\;d\theta_{0}.
Para abreviar, definirei
\tilde{\sigma}(\theta_{0}):=\sigma\!\bigl(\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0})\bigr).

Passo 4

Agora expresso x-x_{0} em termos de \theta e \theta_{0}. Usando as substituições
x=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta),\qquad x_{0}=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0}),
temos
x-x_{0}=\tfrac{1}{2}c\bigl(\cos\theta-\cos\theta_{0}\bigr).
Uso a identidade trigonométrica
\cos A-\cos B=-2\sin\!\Bigl(\tfrac{A+B}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{A-B}{2}\Bigr),
para obter
x-x_{0}=-\tfrac{1}{2}c\cdot 2\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr) =-c\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr).
Portanto, o valor absoluto é
\bigl|x-x_{0}\bigr|=c\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|.

Passo 5

Substituo esta expressão dentro do logaritmo na integral obtida no Passo 3. Como \ln|x-x_{0}|=\ln c+\ln\bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\bigr)\bigr|, a integral fica
u(x,0)=\frac{c}{2}\int_{0}^{\pi}\tilde{\sigma}(\theta_{0})\Biggl[\ln c +\ln\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|\Biggr]\sin\theta_{0}\;d\theta_{0},
onde \theta é o ângulo associado a x pela substituição x=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta).

Passo 6

Posso separar o termo constante \ln c fora do log para escrever a relação em forma mais explícita:
u(x,0)=\frac{c}{2}\,\ln c\int_{0}^{\pi}\tilde{\sigma}(\theta_{0})\sin\theta_{0}\;d\theta_{0} +\frac{c}{2}\int_{0}^{\pi}\tilde{\sigma}(\theta_{0})\ln\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|\sin\theta_{0}\;d\theta_{0}.
Isto é uma relação integral para u expressa na variável angular \theta. Se preferir, voltando à notação original de \sigma(x_{0}) (avaliada em x_{0}=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0})) a expressão anterior é plenamente equivalente.

Resposta

u(x,0)=\frac{c}{2}\int_{0}^{\pi}\sigma\!\Bigl(\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta_{0})\Bigr)\Biggl[\ln c +\ln\Bigl|\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta+\theta_{0}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{\theta-\theta_{0}}{2}\Bigr)\Bigr|\Biggr]\sin\theta_{0}\;d\theta_{0},
onde \theta é dado por \;x=\tfrac{1}{2}c(1+\cos\theta).

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