Escolha duas das EDOa) x cos (y / x) y^prime=y cos (y / x)+x.
b) (3 x y+x^2) y^prime+y^2+x y=0.
c) y^prime=x^5-3 yx.

Passo 1

O enunciado apresenta três EDOs de primeira ordem e pede para escolher duas e encontrar suas soluções gerais. Vamos resolver a) usando substituição em equação homogênea e c) usando método do fator integrante em equação linear.

Passo 2

Para a) temos
xcosl( yxr),y' = ycosl( yxr)+x
Note que é conveniente usar a substituição u= yx, logo y= x u e
y'=u + x,u'
Substituindo na EDO:
$$x\cos(u)\bigl(u + x u’\bigr)= x u\cos(u) + x,.
xcos(u)l(u + x u'r)= x ucos(u) + x, x\cos(u),u + x^2\cos(u),u’ = x u\cos(u) + x
$$
$$x^2\cos(u),u’ = x\quad\Longrightarrow\quad x,u’ = \frac1{\cos(u)},.
uá\cos(u),du = \frac{dx}x
xcos(u),u + x^2cos(u),u' = x ucos(u) + x \int\cos(u),du = \int\frac{dx}x
$$
$$\sin(u)=\ln|x| + C_1
x^2cos(u),u' = xLongrightarrow x,u' = 1cos(u), \sin\Bigl(\frac yx\Bigr)=\ln|x| + C_1.$$

Passo 3

Para c) temos a EDO
y'=x^5 - 3yx = x^4 - 3xy
Reescrevendo em forma padrão de linear:
$$y’ + \frac{3}{x}y = x^4.
y' + 3xy = x^4 é\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{3}{x},dx\Bigr)=x^3.
mu(x)=expl(integral3x,dxr)=x^3 x^3y’ + 3x^2y = x^7
x^3é\frac{d}{dx}\bigl(x3y\bigr)=x7.
x^3y' + 3x^2y = x^7 x^3y = \frac{x^8}{8} + C_2
ddxl(x^3yr)=x^7 y = \frac{x^5}{8} + C_2 x^{-3}.$$

Passo 4

As soluções gerais encontradas são: para (a) temos sin(y/x)=ln|x|+C1 e para © y=x^58+C2x^-3.

Resposta

a) sinl(tfrac yxr)=ln|x|+C1 c) y=x^58+C2x^-3

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