Considerando a propagação de uma onda eletromagnética monocromática de frequência angular
, encontre uma expressão para a razão entre a densidade da corrente de deslocamento e a densidade da corrente de condução em um meio dielétrico de condutividade
e permissividade elétrica do meio
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a relação entre duas “correntes” num meio dielétrico que tem condutividade σ e permissividade ε, quando rola uma onda eletromagnética senoidal de frequência angular ω.
Conteúdo: vai ter Maxwell–Ampère (onde aparece a corrente de condução e a tal da corrente de deslocamento), manipulação de funções harmônicas (usamos representação complexa e derivadas no tempo viram fator jω).
O que vamos precisar:
Conteúdo: vai ter Maxwell–Ampère (onde aparece a corrente de condução e a tal da corrente de deslocamento), manipulação de funções harmônicas (usamos representação complexa e derivadas no tempo viram fator jω).
O que vamos precisar:
- Definição de densidade de corrente de condução:
. - Definição de densidade de corrente de deslocamento:
. - Saber usar exponenciais complexas para ondas senoidais, em que
.
Passo 2
Primeiro, bora entender a corrente de deslocamento.
Na teoria de Maxwell, quando você tem um campo elétrico variável, mesmo num dielétrico (sem cargas livres), aparece uma “corrente” dada por
Na teoria de Maxwell, quando você tem um campo elétrico variável, mesmo num dielétrico (sem cargas livres), aparece uma “corrente” dada por
Aqui
porque estamos num meio linear, isotrópico.
Passo 3
Agora, como nossa onda é monocromática, a gente escreve o campo como
Em representação complexa (phasor), o
carrega amplitude e fase, e a derivada no tempo traz um fator
:
Logo,
Passo 4
Agora a densidade de corrente de condução é bem direta:
Essa é a lei de Ohm local: corrente elétrica proporcional ao campo elétrico no meio condutor.
Passo 5
Aí é só dividir as duas densidades, lembrando que
se cancela:
Geralmente a gente foca no módulo ou na forma phasor, então o sinal “
” indica uma defasagem de
.
Resposta
ou, em módulo,
.