Considerando a propagação de uma onda eletromagnética monocromática de frequência angular omega, encontre uma expressão para a razão entre a densidade da corrente de deslocamento e a densidade da corrente de condução em um meio dielétrico de condutividade sigma e permissividade elétrica do meio varepsilon.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a relação entre duas “correntes” num meio dielétrico que tem condutividade σ e permissividade ε, quando rola uma onda eletromagnética senoidal de frequência angular ω.
Conteúdo: vai ter Maxwell–Ampère (onde aparece a corrente de condução e a tal da corrente de deslocamento), manipulação de funções harmônicas (usamos representação complexa e derivadas no tempo viram fator jω).
O que vamos precisar:
  • Definição de densidade de corrente de condução: .
  • Definição de densidade de corrente de deslocamento: .
  • Saber usar exponenciais complexas para ondas senoidais, em que .

Passo 2

Primeiro, bora entender a corrente de deslocamento.
Na teoria de Maxwell, quando você tem um campo elétrico variável, mesmo num dielétrico (sem cargas livres), aparece uma “corrente” dada por
Jd ;=;partial Dpartial t;=;partial (varepsilon E)partial t
Aqui porque estamos num meio linear, isotrópico.

Passo 3

Agora, como nossa onda é monocromática, a gente escreve o campo como
E(t) = ReE0,e^-iomega t
Em representação complexa (phasor), o partial Epartial t longrightarrow -iomega,E carrega amplitude e fase, e a derivada no tempo traz um fator Jd = varepsilon,partial Epartial t = varepsilon,(-iomega,E) = -,i,omega,varepsilon,E :
Logo,

Passo 4

Agora a densidade de corrente de condução é bem direta:
Jc = sigma,E
Essa é a lei de Ohm local: corrente elétrica proporcional ao campo elétrico no meio condutor.

Passo 5

Aí é só dividir as duas densidades, lembrando que JdJc =-,i,omega,varepsilon,Esigma,E =-,i,omega,varepsilonsigma se cancela:
Geralmente a gente foca no módulo ou na forma phasor, então o sinal “ ” indica uma defasagem de .

Resposta

boxedJdJc ;=;-,i,omega,varepsilonsigma,,
ou, em módulo, .

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