Um objeto se movimenta seguindo uma trajetória circular de raio R, no sentido antihorário, com velocidade de módulo v constante. O movimento é descrito em um sistema de referência onde os eixos O x e O y apontam para leste e norte, respectivamente, com origem no centro da trajetória. Em t0=0 s, o objeto se encontra na posição leste, portanto v0=v j e, no instante tf, o objeto alcança a posição norte do círculo pela primeira vez. Nas questões que seguem, considere que R e v são conhecidos. Determine
o mesmo que nos itens a), b) e c), mas quando o objeto descreve um arco correspondente a +30^circ a partir da posição em t0=0 s.

Passo 1

Beleza, então o problema é de Movimento Circular Uniforme (MCU). A gente tem um objeto que se move num círculo de raio com velocidade escalar constante , no sentido positivo (anti-horário). Em ele está na “posição leste” ( ) e, em vez dos do enunciado original, agora queremos acompanhar um arco de ( ) a partir de lá.
O que a gente vai achar (nosso itens a), b) e c)):
a) O tempo para percorrer esse arco.
b) O vetor velocidade .
c) O vetor aceleração .
Para isso precisamos lembrar:
  • Converter graus para radiano ( ).
  • Relação entre velocidade escalar e velocidade angular: .
  • Fórmulas de vetor velocidade e aceleração no MCU:

    .

Passo 2

Calcular o tempo De:
  1. Ângulo percorrido em radianos:
omega = vR
  1. Velocidade angular:
De
  1. Usando , temos

Passo 3

Calcular o vetor velocidade em vec v(t) = R,omegal(-sintheta,hatimath + costheta,hatjmathr) = vl(-sintheta,hatimath + costheta,hatjmathr) :
A fórmula geral é
sin!l(tfracpi6r)=tfrac12, cos!l(tfracpi6r)=tfracraiz32,
Para boxed vec v(tf) = vl(-tfrac12,hatimath + tfracraiz32,hatjmathr) :
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Passo 4

Calcular o vetor aceleração centrípeta em vec a = -R,omega^2l(costheta,hatimath + sintheta,hatjmathr) = -v^2Rl(costheta,hatimath + sintheta,hatjmathr) :
A aceleração no MCU é
boxed vec a(tf) = -v^2Rl(tfracraiz32,hatimath + tfrac12,hatjmathr)
Para :

Resposta

a)
b)
c)

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