Considerando o PVI:
c y^prime=cos (x)-y y(0)=-1
Obtenha uma aproximação para y(1), com h=18, usando:
Método de Runge-Kutta de 4^ a Ordem.

Passo 1

O problema nos dá o PVI
y' = cos(x) - y, y(0) = -1,
e pede uma aproximação de y(1) usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo h = 18. O conteúdo aqui é solução numérica de EDOs usando RK4, onde vamos iterar de x0=0 até x8=1.

Passo 2

O esquema geral de RK4 para
y' = f(x,y)
e passo h é:
k1 &= h,f(xi,yi), k2 &= h,fl(xi+tfrac h2,;yi+tfrack12r), k3 &= h,fl(xi+tfrac h2,;yi+tfrack22r), k4 &= h,f(xi+h,;yi+k3), yi+1 &= yi + k1 + 2k2 + 2k3 + k46
No nosso caso f(x,y)=cos(x)-y e h=0,125.

Passo 3

Primeiro passo ( i=0, x0=0, y0=-1):
k1 &= 0,125l(cos0 -(-1)r)=0,25, k2 &= 0,125l(cos0,0625 -(-1+0,125)r)approx0,23413, k3 &= 0,125l(cos0,0625 -(-1+0,11707)r)approx0,23512, k4 &= 0,125l(cos0,125 -(-1+0,23512)r)approx0,21963, y1 &= -1 + 0,25 + 2cdot0,23413 + 2cdot0,23512 + 0,219636 approx -0,76531

Passo 4

Repetindo o mesmo procedimento para i=1,2,dots,6 obtemos:
x1&=0,125,;y1approx -0,76531; x2&=0,25,;y2approx -0,56004; x3&=0,375,;y3approx -0,38254; x4&=0,5,;y4approx -0,23129; x5&=0,625,;y5approx -0,10486; x6&=0,75,;y6approx -0,00187

Passo 5

No antepenúltimo passo ( i=6to7) e penúltimo ( i=7to8) chegamos a
x7=0,875,;y7approx0,07905
e, finalmente, para x8=1:
k1 &approx0,07032, k2approx0,05982, k3approx0,06047, k4approx0,05010, y8 &= y7 + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 approx 0,07905 + 0,06017 = 0,13922

Resposta

Aproximação de y(1)approx 0,13922.

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