Considerando o PVI:
c y^prime=cos (x)-y y(0)=-1
Obtenha uma aproximação para y(1), com h=18, usando:
Método de Taylor de 2^ a Ordem.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = cos(x) - y, y(0)=-1,
e pede uma aproximação de y(1) com o passo h=tfrac18, usando o método de Taylor de segunda ordem. Vamos precisar da fórmula geral desse método e das derivadas parciais de f(x,y)=cos(x)-y.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=cos(x)-y
As derivadas parciais são
partial fpartial x(x,y)=-sin(x), partial fpartial y(x,y)=-1

Passo 3

A fórmula do método de Taylor de ordem 2 é
yn+1 = yn + h,f(xn,yn) + h^22l(fx(xn,yn)+fy(xn,yn),f(xn,yn)r)
Aqui vamos usar h=0,125 e xn = nh, y0=-1.

Passo 4

Em n=0 temos x0=0, y0=-1. Então
f0 = f(0,-1)=cos(0)-(-1)=1+1=2,
fx(0,-1)=0, fy(0,-1)=-1,
fx+fy,f = 0 + (-1)cdot2 = -2
Logo
y1 = -1 + 0,125cdot2 + (0,125)^22,(-2) = -1 + 0,25 - 0,015625 = -0,765625

Passo 5

Em n=1 temos x1=0,125, y1=-0,765625. Calculamos
f1=cos(0,125)-(-0,765625)approx0,9921977+0,765625=1,7578227,
fx=-sin(0,125)approx-0,1246747, fx+fy,fapprox-0,1246747-1,7578227=-1,8824974
Então
y2 = -0,765625 +0,125cdot1,7578227 +0,0078125cdot(-1,8824974) approx -0,560605

Passo 6

Em n=2: x2=0,25, y2approx-0,560605.
f2=cos(0,25)-y2approx0,9689124+0,560605=1,5295174,
fx=-sin(0,25)approx-0,2474039, fx+fy,fapprox-1,7769213
Logo
y3approx y2 +0,125cdot1,5295174 +0,0078125cdot(-1,7769213) approx -0,383289

Passo 7

Em n=3: x3=0,375, y3approx-0,383289.
f3=cos(0,375)-y3approx0,9305076+0,383289=1,3137966,
fx=-sin(0,375)approx-0,3662720, fx+fy,fapprox-1,6800686
y4approx-0,383289 +0,125cdot1,3137966 +0,0078125cdot(-1,6800686) approx -0,232195

Passo 8

Em n=4: x4=0,5, y4approx-0,232195.
f4=cos(0,5)-y4approx0,8775826+0,232195=1,1097776,
fx=-sin(0,5)approx-0,4794255, fx+fy,fapprox-1,5892031
y5approx -0,232195+0,125cdot1,1097776 +0,0078125cdot(-1,5892031) approx -0,105899

Passo 9

Em n=5: x5=0,625, y5approx-0,105899.
f5=cos(0,625)-y5approx0,8109630+0,105899=0,9168620,
fx=-sin(0,625)approx-0,5850973, fx+fy,fapprox-1,5019593
y6approx -0,105899 +0,125cdot0,9168620 +0,0078125cdot(-1,5019593) approx -0,003010

Passo 10

Em n=6: x6=0,75, y6approx-0,003010.
f6=cos(0,75)-y6approx0,7316889+0,003010=0,7346989,
fx=-sin(0,75)approx-0,6816388, fx+fy,fapprox-1,4163377
y7approx -0,003010 +0,125cdot0,7346989 +0,0078125cdot(-1,4163377) approx 0,077762

Passo 11

Em n=7: x7=0,875, y7approx0,077762.
f7=cos(0,875)-y7approx0,6390125-0,077762=0,5612505,
fx=-sin(0,875)approx-0,7675439, fx+fy,fapprox-1,3287944
y8approx 0,077762 +0,125cdot0,5612505 +0,0078125cdot(-1,3287944) approx 0,137545

Resposta

A aproximação de y(1) pelo método de Taylor de 2ª ordem com h=tfrac18 é
y(1)approx0,137545

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