QUESTIONÁRIO - 6
GEXT 7303 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, Prof. Bassani, 2^circ Semestre 2024. (Duração Prevista: 40 minutos; 50 pontos equivale a grau 10,0)
Determinar a matriz fundamental psi(t) do sistema de equações
x^prime=(lll 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ) x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar a matriz fundamental psi(t) para o sistema de equações diferenciais dado por
x^prime = ( ccc 3 & 2 & 4 2 & 0 & 2 4 & 2 & 3 ) x
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar teoria sobre autovalores e autovetores de matrizes, já que eles ajudam a construir a matriz fundamental.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
det(A - lambda I) = det( ccc 3-lambda & 2 & 4 2 & -lambda & 2 4 & 2 & 3-lambda )
Expandindo o determinante, obtemos a equação cúbica:
-lambda^3 + 6lambda^2 + 15lambda + 8 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 - 15lambda - 8 = 0
Agora, testamos possíveis raízes. Testando lambda = -1 :
(-1)^3 - 6(-1)^2 - 15(-1) - 8 = -1 - 6 + 15 - 8 = 0
Então, lambda = -1 é uma raiz. Dividindo o polinômio por (lambda + 1) , obtemos:
lambda^2 - 7lambda - 8 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 7 pm raiz49 + 322 = 7 pm 92
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 8 e lambda2 = lambda3 = -1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 8 :
Resolvemos (A - 8I)v = 0 :
( ccc -5 & 2 & 4 2 & -8 & 2 4 & 2 & -5 ) v = 0
Resolvendo o sistema, encontramos que um autovetor é:
v1 = 2 1 2
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
( ccc 4 & 2 & 4 2 & 1 & 2 4 & 2 & 4 ) v = 0
Resolvendo o sistema, encontramos dois autovetores linearmente independentes:
v2 = 1 -2 0 e v3 = 0 -2 1

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos construir as soluções fundamentais do sistema. Cada solução tem a forma:
x(t) = e^lambda t v
Portanto, as soluções correspondentes são:
x1(t) = e^8t 2 1 2 , x2(t) = e^-t 1 -2 0 , x3(t) = e^-t 0 -2 1

Passo 5

A matriz fundamental psi(t) é formada colocando essas soluções como colunas. Assim, temos:
psi(t) = ( ccc 2e^8t & e^-t & 0 e^8t & -2e^-t & -2e^-t 2e^8t & 0 & e^-t )

Resposta

A matriz fundamental psi(t) do sistema é
psi(t) = 2e^8t & e^-t & 0 e^8t & -2e^-t & -2e^-t 2e^8t & 0 & e^-t

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