Resolver o seguinte PVI:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+4 y=0, y(1)=5, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação de Euler–Cauchy
x^2y''-2x,y'+4y=0,
com condições
y(1)=5, y'(1)=3
Para resolver precisamos reconhecer que a equação é do tipo de coeficientes variáveis usual em problemas de engenharia, e sua solução geral se obtém assumindo uma forma y=x^m.

Passo 2

Substituímos y=x^m na equação
x^2l(m(m-1)x^m-2r)-2xl(m,x^m-1r)+4x^m=0
e obtemos o polinômio característico
m(m-1)-2m+4=0 Longrightarrow m^2-3m+4=0
As raízes são
m=3pmraiz9-162 =32pmiraiz72

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas m=alphapm ibeta com
alpha=tfrac32 e beta=tfracraiz72, a solução geral é
y(x) =x^alpha l[C1cosl(betaln xr) +C2sinl(betaln xr)r] =x^tfrac32 l[C1cosl(tfracraiz72ln xr) +C2sinl(tfracraiz72ln xr)r]

Passo 4

Aplicamos y(1)=5. Como ln1=0, cos0=1, sin0=0 e 1^3/2=1, vem
y(1)=C1=5
Agora calculamos y'. Para
y(x)=x^3/2l(5cos(bln x)+C2sin(bln x)r), b=tfracraiz72,
usa-se a regra do produto e cadeia, obtendo
y'(x) =x^1/2l[tfrac32l(5cos(bln x)+C2sin(bln x)r) -5bsin(bln x)+C2bcos(bln x)r]
Em x=1 isso vira
y'(1) =tfrac32,5 + C2,b =tfrac152+C2,tfracraiz72,
que deve ser igual a 3. Assim
tfrac152+tfracraiz72,C2=3 Longrightarrow raiz7,C2=6-15=-9 Longrightarrow C2=-9raiz7

Passo 5

Substituindo e na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:

Resposta

y(x) =x^tfrac32l[5cos!l(tfracraiz72ln xr) -tfrac9raiz7sin!l(tfracraiz72ln xr)r]

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