Considerando o PVI:
c y^prime=cos (x)-y y(0)=-1
Obtenha uma aproximação para y(1), com h=18, usando:
Método de Taylor de 1^ a Ordem.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' = cos(x) - y, y(0) = -1,
e pede uma aproximação de y(1) com passo h = tfrac18 usando o método de Taylor de 1ª ordem (que coincide com o método de Euler explícito).

Passo 2

A expansão de Taylor de 1ª ordem em torno de xn é
y(xn + h) approx y(xn) + h,y'(xn)
Como y'(xn)=cos(xn)-y(xn), obtemos a fórmula recursiva
yn+1 = yn + hl(cos(xn) - ynr)

Passo 3

Definimos a malha
xn = n,h, n=0,1,dots,8,
de modo que x8=1. A condição inicial é
y0 = y(0) = -1

Passo 4

Aplicando a fórmula para cada passo:
y1 = -1 + 0,125l(cos(0) - (-1)r) = -1 + 0,125cdot2 = -0,75
y2 = -0,75 + 0,125l(cos(0,125) - (-0,75)r) approx -0,5322
y3 approx -0,3446, y4 approx -0,1852, y5 approx -0,0523, y6 approx 0,0556
y7 approx 0,1401, y8 approx 0,2027

Resposta

A aproximação fornecida pelo método de Taylor de 1ª ordem é
y(1)approx 0,2027

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