O valor médio
de uma função
em uma região sólida
se define como a integral
onde
é o volume do solido
. Calcule o valor médio de
no sólido
limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função
em uma região sólida
no espaço 3D, limitada pelas superfícies
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em múltiplas dimensões, especificamente integrais triplas, e vamos precisar conhecer coordenadas cilíndricas para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o valor médio de uma função sobre uma região sólida. O valor médio
é dado pela integral tripla da função
sobre
, dividida pelo volume de
. Matematicamente, isso é expresso por:
Onde
é o volume da região
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o volume
. A região
é delimitada pela parábola
e pelo plano
. Para calcular o volume, vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, já que essas coordenadas simplificam a descrição da região.
Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. A superfície
em coordenadas cilíndricas fica
. O limite superior para
é
. Portanto, para cada
,
varia de
a
.
Para encontrar o limite de
, observamos onde as duas superfícies se intersectam:
E
varia de
a
para cobrir toda a volta.
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume
:
Integrando em ordem
, temos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral tripla de
sobre
. Em coordenadas cilíndricas,
, então a integral fica:
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, em relação a
:
Depois, em relação a
:
Resposta
O valor médio de
no sólido
é
.