O valor médio m(f, W) de uma função f(x, y, z) em uma região sólida W subset R^3 se define como a integral
m(f, W)=1V(W) integralegral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
onde V(W) é o volume do solido W. Calcule o valor médio de f(x, y, z)=raizx^2+y^2 no sólido W limitado por z=x^2+y^2 e z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 em uma região sólida W no espaço 3D, limitada pelas superfícies z = x^2 + y^2 e z = 1 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em múltiplas dimensões, especificamente integrais triplas, e vamos precisar conhecer coordenadas cilíndricas para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor médio de uma função sobre uma região sólida. O valor médio m(f, W) é dado pela integral tripla da função f sobre W , dividida pelo volume de W . Matematicamente, isso é expresso por:
m(f, W) = 1V(W) integral triplaW f(x, y, z) , dx , dy , dz
Onde V(W) é o volume da região W .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o volume V(W) . A região W é delimitada pela parábola z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 1 . Para calcular o volume, vamos configurar a integral tripla usando coordenadas cilíndricas, já que essas coordenadas simplificam a descrição da região.
Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume é:
dV = r , dr , dtheta , dz

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. A superfície z = x^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas fica z = r^2 . O limite superior para z é z = 1 . Portanto, para cada r , z varia de r^2 a 1 .
Para encontrar o limite de r , observamos onde as duas superfícies se intersectam:
r^2 = 1 implies r = 1
E theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta.

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume V(W) :
V(W) = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 r , dz , dr , dtheta
Integrando em ordem dz , temos:
V(W) = integral0^2pi integral0^1 r (1 - r^2) , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r :
integral0^1 r (1 - r^2) , dr = integral0^1 r , dr - integral0^1 r^3 , dr = [r^22]0^1 - [r^44]0^1 = 12 - 14 = 14
Em seguida, integramos em relação a theta :
V(W) = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral tripla de f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 sobre W . Em coordenadas cilíndricas, raizx^2 + y^2 = r , então a integral fica:
integral triplaW f(x, y, z) , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^2 (1 - r^2) , dr , dtheta
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, em relação a r :
integral0^1 r^2 (1 - r^2) , dr = integral0^1 r^2 , dr - integral0^1 r^4 , dr = [r^33]0^1 - [r^55]0^1 = 13 - 15 = 215
Depois, em relação a theta :
integral triplaW f(x, y, z) , dV = integral0^2pi 215 , dtheta = 215 times 2pi = 4pi15

Resposta

O valor médio de f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 no sólido W é dfrac4pi15 .

Exercícios relacionados