Dado o PVI:
c y d yd x=-x y(0)=12
Estime o valor y(1), com h=15, usando o Método de Runge-Kutta de 4^ a Ordem.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y,dfracdydx = -x, y(0)=tfrac12,
que é uma EDO separável e cuja solução exata imersa satisfaz
y^2 + x^2 = tfrac14
Queremos aplicar o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo h=tfrac15 de x=0 até x=1.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão
dfracdydx = f(x,y) = -xy,
e usamos o esquema
k1 &= f(xn,yn), k2 &= fl(xn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k1r), k3 &= fl(xn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k2r), k4 &= fl(xn + h,;yn + h,k3r), yn+1 &= yn + h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Passo 3

Calculamos as primeiras iterações até chegarmos em x=0,4:
  • Em n=0, (x0,y0)=(0,0,5) Rightarrow k1=0,;k2=-0,2,;k3approx-0,20833,;k4approx-0,43636 Rightarrow y1approx0,45823 em x1=0,2.
  • Em n=1, (x1,y1)approx(0,2,0,45823) Rightarrow k1approx-0,43645,;k2approx-0,72367,;k3approx-0,77752,;k4approx-1,32176 Rightarrow y2approx0,29955 em x2=0,4.

Passo 4

Em x2=0,4, já temos y2approx0,29955. O próximo passo é em x3=0,6; mas note que pela solução exata
y(x)=raiztfrac14 - x^2,
temos y(0,5)=0, ou seja, em x=0,5 a derivada f(x,y)=-x/y torna-se singular.

Passo 5

Ao tentar aplicar o passo em x3=0,6, o método precisa avaliar f com y muito próximo de zero, gerando coeficientes ki enormes e inconsistentes. Isso mostra que o método numérico falha justamente onde a solução exata se anula e a EDO deixa de ser bem-comportada.

Passo 6

Como a solução exata se anula em x=tfrac12 e o termo f(x,y)=-x/y fica indefinido, não há como avançar até x=1 mantendo valores reais. O PVI só admite solução real para |x|<=0,5.

Resposta

Não é possível estimar y(1) em valores reais, pois a EDO torna-se singular em x=tfrac12 e o método de Runge–Kutta não pode ultrapassar esse ponto mantendo yinR.

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