Considerando R como a regiäo triangular de vértices (0,1),(1,2) e (3,1), calcule a integral dupla abaixo:
integral duplaR y^2 d A

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaR y^2,dA
onde R é o triângulo com vértices (0,1), (1,2) e (3,1). O conteúdo aqui é a definição de integral dupla e a projeção da região no eixo y.

Passo 2

Para descrever R em termos de y e x, note que a base do triângulo fica em y=1, de x=0 até x=3, e o ápice em y=2 no ponto (1,2). Para cada yin[1,2], o limite esquerdo de x é a reta que une (0,1) a (1,2), cuja equação é
x=y-1,
e o limite direito de x é a reta que une (3,1) a (1,2), cuja equação é
x=5-2y

Passo 3

Com isso, aplicamos Fubini e escrevemos
integral duplaR y^2,dA =integraly=1^2l(integralx=y-1^5-2yy^2,dxr)dy
Integrando em x (tratando y^2 como constante), obtemos
integraly=1^2y^2l[(5-2y)-(y-1)r]dy =integral1^2y^2(6-3y),dy

Passo 4

Agora construímos a primitiva em y:
integral y^2(6-3y),dy =integral(6y^2-3y^3),dy =2y^3-34y^4

Passo 5

Avaliamo-la de y=1 a y=2: em y=2
2cdot2^3-34,2^4=16-12=4,
e em y=1
2cdot1^3-34,1^4=2-tfrac34=tfrac54
A diferença é
4-54=164-54=114

Resposta

114

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