Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que precisamos fazer é encontrar a solução geral
, que é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
cujas raízes são
. Logo, a solução complementar é
Passo 3
Agora, buscamos uma solução particular
para
Como
já está na solução homogênea, fazemos o palpite
com constantes
e
a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Somando
, o termo em
cancela, sobrando
Para que isso seja igual a
, igualamos coeficientes:
Assim
Passo 5
A solução geral é