Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
y^prime prime+y=4 sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 4,sin x
O que precisamos fazer é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0
cujas raízes são r = pm i. Logo, a solução complementar é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular yp(x) para
y'' + y = 4,sin x
Como sin x já está na solução homogênea, fazemos o palpite
yp(x) = xl(Acos x + Bsin xr),
com constantes A e B a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = A xcos x + B xsin x,
yp' = Acos x - A xsin x + Bsin x + B xcos x,
yp'' = -2Asin x + 2Bcos x + xl(-Acos x - Bsin xr)
Somando yp'' + yp, o termo em x cancela, sobrando
yp'' + yp = -2Asin x + 2Bcos x
Para que isso seja igual a 4sin x, igualamos coeficientes:
-2A = 4Rightarrow A = -2,
2B = 0Rightarrow B = 0
Assim
yp(x) = -2xcos x

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos x + C2sin x ;-;2xcos x

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - 2xcos x

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