Exercício 2.4. Determine se o princípio do máximo vale para a equação do calor não homogênea
onde
é uma função contínua tal que
. (Sugestão: considere a função
.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale o princípio do máximo para a equação do calor não homogênea
onde
é contínua. Ou seja, queremos ver se toda solução atinge seu valor máximo apenas na fronteira espacial ou no tempo inicial, quando há uma fonte
.
Passo 2
Para refutar o princípio do máximo, vamos apresentar um contra‐exemplo. Seja o domínio espacial
e
. Definimos
Vamos calcular
,
e ver qual é a
correspondente:
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
logo
No nosso caso tomamos
qualquer e restringimos
. Como
nesse intervalo e o fator
também é
, concluímos que
.
Passo 4
Observe que para todo
o valor de
atinge um máximo interno em
, pois
enquanto nas fronteiras
e
temos
e no tempo inicial
temos
. Ou seja, o valor máximo de
ocorre estritamente no interior do cilindro
, contrariando o princípio do máximo clássico.
Resposta
O princípio do máximo não vale para a equação do calor com termo
, pois exibimos uma solução que atinge seu máximo no interior do domínio espacial e para
.