Exercício 2.4. Determine se o princípio do máximo vale para a equação do calor não homogênea
ut=K ux x+q,
onde q é uma função contínua tal que q >= 0. (Sugestão: considere a função u(x, t)=(1-e^-t) sen x.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale o princípio do máximo para a equação do calor não homogênea
ut=K,uxx+q(x,t),
onde q>=0 é contínua. Ou seja, queremos ver se toda solução atinge seu valor máximo apenas na fronteira espacial ou no tempo inicial, quando há uma fonte q>=0.

Passo 2

Para refutar o princípio do máximo, vamos apresentar um contra‐exemplo. Seja o domínio espacial [0,pi] e t>=0. Definimos
u(x,t)=l(1-e^-tr)sin x
Vamos calcular ut, uxx e ver qual é a q correspondente:
ut = e^-tsin x,
uxx = -l(1-e^-tr)sin x

Passo 3

Substituindo em ut=K,uxx+q, obtemos
e^-tsin x = Kl[-(1-e^-t)sin xr] + q(x,t),
logo
q(x,t) = e^-tsin x + K,(1-e^-t)sin x = l[K + (1-K)e^-tr]sin x
No nosso caso tomamos K>0 qualquer e restringimos xin[0,pi]. Como sin x>=0 nesse intervalo e o fator l[K+(1-K)e^-tr] também é >=0, concluímos que q(x,t)>=0.

Passo 4

Observe que para todo t>0 o valor de u atinge um máximo interno em (x,t)=(tfracpi2,t), pois
ul(tfracpi2,tr)=1-e^-t>0,
enquanto nas fronteiras x=0 e x=pi temos
u(0,t)=u(pi,t)=0,
e no tempo inicial t=0 temos u(x,0)=0. Ou seja, o valor máximo de u ocorre estritamente no interior do cilindro [0,pi]times(0,infty), contrariando o princípio do máximo clássico.

Resposta

O princípio do máximo não vale para a equação do calor com termo q>=0, pois exibimos uma solução que atinge seu máximo no interior do domínio espacial e para t>0.

Exercícios relacionados