Uma sonda interplanetária esférica, de diâmetro 0,5 \mathrm{~m}, contém eletrônicos que dissipam 150 W. Se a superfície da sonda possui uma emissividade de 0,8 e não recebe radiação de outras fontes como, por exemplo, do sol, qual é a sua temperatura superficial?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da sonda: 0,5\\ \mathrm{m}.
    • Potência dissipada pelos eletrônicos: 150\\ \mathrm{W}.
    • Emissividade da superfície: \varepsilon=0,8.
    • Não recebe radiação externa (ex.: do Sol) — portanto só resfria por radiação para o espaço.
  • O que se pede:
    • A temperatura superficial da sonda em regime permanente (temperatura T tal que a potência emitida por radiação iguala 150\\ \mathrm{W}).

Passo 2

Qual a lei física que vamos usar? Quando um corpo emite radiação térmica, a potência emitida por unidade de área segue a lei de Stefan–Boltzmann. Para uma superfície com emissividade \varepsilon e área A a potência total emitida é
P_{\text{emitida}}=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}
onde
  • \varepsilon é a emissividade (adimensional, 0\le\varepsilon\le1),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann com valor aproximado \sigma=5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • A é a área da superfície em \mathrm{m^{2}},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin \mathrm{K}.
Em regime estacionário e sem entrada de radiação externa, a potência dissipada pelos eletrônicos P é toda irradiada pela superfície, então
P=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}.

Passo 3

Calcular a área da superfície da sonda (é uma esfera). O raio da esfera é metade do diâmetro, logo
r=\frac{0,5}{2}=0,25\\ \mathrm{m}.
A área de uma esfera é A=4\pi r^{2}. Portanto
A=4\pi(0,25)^{2}=4\pi\cdot0,0625=0,25\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Num valor numérico aproximado
A\approx0,785398\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Agora isolamos T na equação de Stefan–Boltzmann. Da relação
P=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}
temos
T=\left(\dfrac{P}{\varepsilon\,\sigma\,A}\right)^{1/4}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos. Usando \sigma=5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}, \varepsilon=0,8, A\approx0,785398\\ \mathrm{m^{2}} e P=150\\ \mathrm{W}, calcula-se o denominador
\varepsilon\,\sigma\,A \approx 0,8\times\left(5,670374419\times10^{-8}\right)\times0,785398 \approx 3,562\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Logo
\frac{P}{\varepsilon\,\sigma\,A}\approx\frac{150}{3,562\times10^{-8}}\approx4,21\times10^{9}.

Passo 6

Tomamos a raiz quarta do valor encontrado. Uma forma prática é tirar a raiz quadrada duas vezes:
T=\left(4,21\times10^{9}\right)^{1/4}=\sqrt{\sqrt{4,21\times10^{9}}}\approx254{,}9\\ \mathrm{K}.
Para converter para graus Celsius:
T_{\text{ºC}}=T-273{,}15\approx-18{,}3\\ ^\circ\mathrm{C}.º

Resposta

T\approx254{,}9\\ \mathrm{K}
T\approx-18{,}3^\circ\mathrm{C}

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