Considerando um reservatório cilíndrico de 2 m de diâmetro e 5 m de altura, caso ele se encontre numa altura inicial de 3 m , e haja uma corrente de alimentação de 50 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e a corrente de saída de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, quanto tempo (em minutos) levará tanque transborde? (R: \mathbf{t}= \mathbf{2 , 6 2 ~ m i n} \boldsymbol{)}

Passo 1

O que o problema pede: calcular quanto tempo levará para o reservatório transbordar, em minutos.
Informações fornecidas (pegar estes valores do enunciado):
  • Diâmetro do cilindro: d=2\\ \text{m}.
  • Altura total do cilindro: H=5\\ \text{m}.
  • Altura inicial do líquido: h_0=3\\ \text{m}.
  • Vazão de alimentação (entrada): Q_{\text{in}}=50\\ \text{L/s}.
  • Vazão de saída: Q_{\text{out}}=10\\ \text{L/s}.
O objetivo é achar o tempo t até o nível subir de h_0 até H.

Passo 2

Relembrando a fórmula do volume de um cilindro e o que cada letra significa:
V = A\cdot h,
onde V é o volume, A é a área da base e h é a altura do líquido. Para uma base circular:
A=\pi r^{2},
onde r é o raio da base. No problema temos o diâmetro d, e r=d/2.

Passo 3

Calcular o raio a partir do diâmetro (mostrando passo a passo):
r=\frac{d}{2}=\frac{2\\ \text{m}}{2}=1\\ \text{m}.
Portanto a área da base é
A=\pi r^{2}=\pi\cdot(1\\ \text{m})^{2}=\pi\\ \text{m}^{2}.

Passo 4

Volume que falta para o reservatório atingir a boca (diferença de altura):
\Delta h = H-h_{0}=5\\ \text{m}-3\\ \text{m}=2\\ \text{m}.
Logo o volume necessário para subir esses 2\\ \text{m} é
\Delta V = A\cdot\Delta h = \pi\cdot 2 = 2\pi\\ \text{m}^{3}.

Passo 5

Converter as vazões de litros por segundo para metros cúbicos por segundo e calcular a vazão líquida (explicando a conversão):
  • Lembrete: 1\\ \text{L}=0,001\\ \text{m}^{3}.
    Assim
Q_{\text{in}}=50\\ \text{L/s}=50\cdot 0,001\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}=0,05\\ \text{m}^{3}\!/\text{s},
Q_{\text{out}}=10\\ \text{L/s}=10\cdot 0,001\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}=0,01\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}.
Vazão líquida que efetivamente aumenta o volume do tanque:
Q_{\text{net}}=Q_{\text{in}}-Q_{\text{out}}=0,05-0,01=0,04\\ \text{m}^{3}\!/\text{s}.

Passo 6

Tempo necessário: dividir o volume a ser preenchido pela vazão líquida. A fórmula e o cálculo exato:
t=\frac{\Delta V}{Q_{\text{net}}}=\frac{2\pi}{0,04}\\ \text{s}.
Simplificando:
\frac{2\pi}{0,04}=\frac{2}{0,04}\pi=50\pi\\ \text{s}\approx 157{,}0796327\\ \text{s}.

Passo 7

Converter segundos para minutos (dividindo por 60) e arredondar de forma razoável:
t_{\text{min}}=\frac{157{,}0796327}{60}\\ \text{min}\approx 2{,}617993878\\ \text{min}\approx 2{,}62\\ \text{min}.
Arredondei para duas casas decimais, que é apropriado para este tipo de problema prático. Vai dar tempo curto — dá pra respirar, você não precisa correr até o tanque!

Resposta

2,62\\ \text{min}

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