Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos:
- encontrar a solução da homogênea via equação característica;
- obter uma solução particular usando o método dos coeficientes determinados;
- somar as duas partes para obter a solução geral.
Passo 2
Começamos pela homogênea associada
A equação característica é
Resolvendo,
Logo a solução homogênea é
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
para o termo
. Como
não coincide com nenhuma raiz da característica, tentamos
Derivando e substituindo em
:
Queremos isso igual a
, logo
Assim
Passo 4
Para o termo
Calculamos
Substituindo em
e igualando a
:
Isso gera o sistema
Da segunda equação (4B = 12C\Rightarrow B=3C]. Substituindo na primeira:
Logo
Logo
Passo 5
A solução particular completa é
Portanto, a solução geral da EDO é
Resposta
onde
C1 e
C2 são constantes arbitrárias.