Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
t y^prime prime-2 y^prime-8 y=e^x-8 cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' - 8y = e^x - 8cos(2x)
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos:
  1. encontrar a solução da homogênea via equação característica;
  2. obter uma solução particular usando o método dos coeficientes determinados;
  3. somar as duas partes para obter a solução geral.

Passo 2

Começamos pela homogênea associada
y'' - 2y' - 8y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 8 = 0
Resolvendo,
r = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62;Longrightarrow;r1 = 4,;r2 = -2
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular yp1 para o termo e^x. Como e^x não coincide com nenhuma raiz da característica, tentamos
yp1(x) = A,e^x
Derivando e substituindo em y'' -2y' -8y:
yp1' = A,e^x, yp1'' = A,e^x,
yp1'' - 2yp1' -8yp1 = A e^x -2A e^x -8A e^x = -9A,e^x
Queremos isso igual a e^x, logo
-9A = 1Longrightarrow A = -19
Assim
yp1(x) = -19,e^x

Passo 4

Para o termo
Calculamos
Substituindo em e igualando a :
Isso gera o sistema
Da segunda equação (4B = 12C\Rightarrow B=3C]. Substituindo na primeira:

Logo

Passo 5

A solução particular completa é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = -19e^x + 35cos(2x) + 15sin(2x)
Portanto, a solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x -19e^x + 35cos(2x) + 15sin(2x)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^4x + C2 e^-2x - tfrac19e^x + tfrac35cos(2x) + tfrac15sin(2x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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