1. Considerando a relação
f: A \rightarrow B \text { onde } f(x)=\frac{2 x+1}{2}
e os conjuntos A=\left\{-\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right\} e B=\left\{\frac{1}{2}, 0,2,3,4,5\right\}, determine:
a) conjunto domínio e conjunto imagem.
b) diagrama de flechas.
c) se essa relação é uma função.

Passo 1

O enunciado dá a regra
f: A \to B,\qquad f(x)=\frac{2x+1}{2},
e os conjuntos
A=\left\{-\frac{1}{2},\,0,\,\frac{3}{2},\,\frac{5}{2}\right\}, \qquad B=\left\{\frac{1}{2},\,0,\,2,\,3,\,4,\,5\right\}.
O que se pede:
a) identificar o conjunto domínio e o conjunto imagem (conjunto de valores efetivamente obtidos por f a partir de A);
b) apresentar o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de A a sua imagem em B);
c) dizer se essa relação é uma função (ou seja, se cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem em B).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão de f(x) para facilitar os cálculos. Divide-se cada termo por 2:
\frac{2x+1}{2}=\frac{2x}{2}+\frac{1}{2}=x+\frac{1}{2}.
Isso significa que, para qualquer x, f(x)=x+\dfrac{1}{2}. Explicando devagarinho: a fração \dfrac{2x+1}{2} é igual à soma de \dfrac{2x}{2} com \dfrac{1}{2}; \dfrac{2x}{2}=x. Pronto — a regra ficou mais simples.

Passo 3

Calcular a imagem de cada elemento de A. Primeiro com x=-\dfrac{1}{2}:
f\!\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0.
Detalhe das contas: somar frações com mesmo denominador -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1+1}{2}=\dfrac{0}{2}=0.

Passo 4

Agora com x=0:
f(0)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
É só somar 0 e \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Com x=\dfrac{3}{2}:
f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2.
Mostrando o passo: soma das frações com denominador 2, depois simplifica \dfrac{4}{2}=2.

Passo 6

Com x=\dfrac{5}{2}:
f\!\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3.

Passo 7

Reunindo os resultados temos as imagens calculadas:
f\!\left(-\frac{1}{2}\right)=0,\quad f(0)=\frac{1}{2},\quad f\!\left(\frac{3}{2}\right)=2,\quad f\!\left(\frac{5}{2}\right)=3.
O conjunto imagem (isto é, o conjunto dos valores obtidos a partir de A) é
\left\{0,\,\frac{1}{2},\,2,\,3\right\}.
Note que cada um desses valores está contido em B (pegou-se os dados de B do enunciado e comparou-se).

Passo 8

Diagrama de flechas (representação por setas). Aqui cada linha mostra um elemento de A e a sua imagem em B:
-\frac{1}{2}\mapsto 0
0\mapsto \frac{1}{2}
\frac{3}{2}\mapsto 2
\frac{5}{2}\mapsto 3
Também se pode escrever o conjunto de pares ordenados da relação:
\left\{\left(-\frac{1}{2},0\right),\,(0,\tfrac{1}{2}),\,\left(\tfrac{3}{2},2\right),\,\left(\tfrac{5}{2},3\right)\right\}.

Passo 9

Verificação se é função. Definição prática: uma relação f:A\to B é função se, para todo x\in A, existe exatamente um y\in B tal que y=f(x). Aqui cada elemento de A teve exatamente uma imagem bem determinada (calculada nos passos anteriores) e essas imagens pertencem a B. Portanto a relação é bem-definida e é uma função.
Observação extra (útil para prova): nesta situação a função é injetora em A (todos os valores obtidos são distintos), mas não é sobrejetora em relação a B porque 4 e 5 pertencem a B e não aparecem na imagem.

Resposta

a) Domínio: A=\left\{-\dfrac{1}{2},\,0,\,\dfrac{3}{2},\,\dfrac{5}{2}\right\}. Imagem: \left\{0,\,\dfrac{1}{2},\,2,\,3\right\}.
b) Diagrama de flechas:
-\dfrac{1}{2}\mapsto 0
0\mapsto \dfrac{1}{2}
\dfrac{3}{2}\mapsto 2
\dfrac{5}{2}\mapsto 3.
c) Sim. É uma função, pois cada elemento de A tem exatamente uma imagem em B.

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