- Considerando a relação
e os conjuntos
e
, determine:
a) conjunto domínio e conjunto imagem.
b) diagrama de flechas.
c) se essa relação é uma função.
a) conjunto domínio e conjunto imagem.
b) diagrama de flechas.
c) se essa relação é uma função.
Passo 1
O enunciado dá a regra
e os conjuntos
O que se pede:
a) identificar o conjunto domínio e o conjunto imagem (conjunto de valores efetivamente obtidos por a partir de
);
b) apresentar o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de a sua imagem em
);
c) dizer se essa relação é uma função (ou seja, se cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem em ).
a) identificar o conjunto domínio e o conjunto imagem (conjunto de valores efetivamente obtidos por
b) apresentar o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de
c) dizer se essa relação é uma função (ou seja, se cada elemento do domínio tem exatamente uma imagem em
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão de
para facilitar os cálculos. Divide-se cada termo por
:
Isso significa que, para qualquer
,
. Explicando devagarinho: a fração
é igual à soma de
com
;
. Pronto — a regra ficou mais simples.
Passo 3
Calcular a imagem de cada elemento de
. Primeiro com
:
Detalhe das contas: somar frações com mesmo denominador
.
Passo 4
Agora com
:
É só somar
e
.
Passo 5
Com
:
Mostrando o passo: soma das frações com denominador
, depois simplifica
.
Passo 6
Com
:
Passo 7
Reunindo os resultados temos as imagens calculadas:
O conjunto imagem (isto é, o conjunto dos valores obtidos a partir de
) é
Note que cada um desses valores está contido em
(pegou-se os dados de
do enunciado e comparou-se).
Passo 8
Diagrama de flechas (representação por setas). Aqui cada linha mostra um elemento de
e a sua imagem em
:
Também se pode escrever o conjunto de pares ordenados da relação:
Passo 9
Verificação se é função. Definição prática: uma relação
é função se, para todo
, existe exatamente um
tal que
. Aqui cada elemento de
teve exatamente uma imagem bem determinada (calculada nos passos anteriores) e essas imagens pertencem a
. Portanto a relação é bem-definida e é uma função.
Observação extra (útil para prova): nesta situação a função é injetora em
(todos os valores obtidos são distintos), mas não é sobrejetora em relação a
porque
e
pertencem a
e não aparecem na imagem.
Resposta
a) Domínio:
. Imagem:
.
b) Diagrama de flechas:
.
c) Sim. É uma função, pois cada elemento de
tem exatamente uma imagem em
.