Nos itens abaixo determine a lei de formação da função
e
e seus domínios:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede as composições e seus domínios. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que é pedido (cada item: lei de formação e domínio):
-
. -
. -
. -
.
Passo 2
Regra geral (importante para achar domínios): a composição
está definida exatamente para os
que satisfazem duas condições simultâneas:
-
pertence ao domínio de . -
pertence ao domínio de .
Vou usar essa regra em cada composição para determinar o domínio.
Passo 3
Determinar domínios das funções individuais primeiro:
-
Para
: é um polinômio, logo está definido para todo . Em TeX: . -
Para
: aparece , então exige-se . Além disso o denominador não pode ser zero; mas para tem e assim , logo nunca é zero. Portanto
Passo 4
Aplicar
sobre
:
Agora o domínio: pela regra do Passo 2 precisamos de
e de
; ou seja
Resolver a inequação: fatorando,
Uma parábola com coeficiente de
positivo tem
para
ou
. Portanto o domínio é
Observação: para esses
o denominador
é >0, então não há mais exclusões.
Passo 5
Aplicar
sobre
:
Substituindo
e reduzindo a uma única fração:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Expandindo o numerador (mostro passo a passo):
então o numerador fica
Logo uma forma conveniente é
Domínio: precisa-se de
(já que
é a função interna) e também
. Mas
é definido para todo real, então não impõe restrição extra. Portanto
Passo 6
Aplicar
duas vezes:
Domínio: para
precisamos de
e de
, isto é
. Mas para
temos
(numerador não negativo) e
, então
. Portanto
para todo
, logo não há restrição extra. Assim
Podemos também escrever
de forma um pouco simplificada usando a substituição
(com
). Com
tem
e
Voltando a
(lembrando
):
Essa é uma forma equivalente, válida para
.
Passo 7
Usar a forma fatorada de
. Note que
. Então
Como
obtemos
portanto
Expandindo (opcional) dá um polinômio:
Domínio: sendo um polinômio, está definido para todo
; assim