Nos itens abaixo determine a lei de formação da função f \circ g, g \circ g, f \circ f e g \circ g e seus domínios:
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x}+1} e g(x)=x^{2}-4 x+3.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede as composições e seus domínios. Informações fornecidas:
  • f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}.
  • g(x)=x^{2}-4x+3.
O que é pedido (cada item: lei de formação e domínio):
  • f\circ g.
  • g\circ f.
  • f\circ f.
  • g\circ g.

Passo 2

Regra geral (importante para achar domínios): a composição (h\circ k)(x)=h(k(x)) está definida exatamente para os x que satisfazem duas condições simultâneas:
  1. x pertence ao domínio de k.
  2. k(x) pertence ao domínio de h.
Vou usar essa regra em cada composição para determinar o domínio.

Passo 3

Determinar domínios das funções individuais primeiro:
  • Para g(x)=x^{2}-4x+3: é um polinômio, logo está definido para todo x\in\mathbb{R}. Em TeX: \mathrm{dom}(g)=(-\infty,\infty).
  • Para f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}: aparece \sqrt{x}, então exige-se x\ge 0. Além disso o denominador \sqrt{x}+1 não pode ser zero; mas para x\ge0 tem \sqrt{x}\ge0 e assim \sqrt{x}+1\ge1>0, logo nunca é zero. Portanto
    \mathrm{dom}(f)=[0,\infty).

Passo 4

Aplicar f sobre g(x):
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{g(x)}{\sqrt{g(x)}+1}=\frac{x^{2}-4x+3}{\sqrt{x^{2}-4x+3}+1}.
Agora o domínio: pela regra do Passo 2 precisamos de x\in\mathrm{dom}(g)=\mathbb{R} e de g(x)\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty); ou seja
x^{2}-4x+3 \ge 0.
Resolver a inequação: fatorando,
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Uma parábola com coeficiente de x^{2} positivo tem (x-1)(x-3)\ge0 para x\le1 ou x\ge3. Portanto o domínio é
\mathrm{dom}(f\circ g)=(-\infty,1]\cup[3,\infty).
Observação: para esses x o denominador \sqrt{g(x)}+1 é >0, então não há mais exclusões.

Passo 5

Aplicar g sobre f(x):
(g\circ f)(x)=g(f(x))=(f(x))^{2}-4f(x)+3.
Substituindo f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1} e reduzindo a uma única fração:
(g\circ f)(x)=\left(\frac{x}{\sqrt{x}+1}\right)^{2}-4\frac{x}{\sqrt{x}+1}+3 =\frac{x^{2}}{(\sqrt{x}+1)^{2}}-\frac{4x}{\sqrt{x}+1}+3.
Colocando sobre o mesmo denominador (\sqrt{x}+1)^{2}:
(g\circ f)(x)=\frac{x^{2}-4x(\sqrt{x}+1)+3(\sqrt{x}+1)^{2}}{(\sqrt{x}+1)^{2}}.
Expandindo o numerador (mostro passo a passo):
\begin{aligned} &-4x(\sqrt{x}+1)=-4x^{3/2}-4x,\\\ &3(\sqrt{x}+1)^{2}=3(x+2\sqrt{x}+1)=3x+6\sqrt{x}+3, \end{aligned}
então o numerador fica
x^{2}-4x^{3/2}-4x+3x+6\sqrt{x}+3 =x^{2}-4x^{3/2}-x+6\sqrt{x}+3.
Logo uma forma conveniente é
(g\circ f)(x)=\frac{x^{2}-4x^{3/2}-x+6x^{1/2}+3}{(\sqrt{x}+1)^{2}}.
Domínio: precisa-se de x\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty) (já que f é a função interna) e também f(x)\in\mathrm{dom}(g)=\mathbb{R}. Mas g é definido para todo real, então não impõe restrição extra. Portanto
\mathrm{dom}(g\circ f)=[0,\infty).

Passo 6

Aplicar f duas vezes:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=\frac{f(x)}{\sqrt{f(x)}+1} =\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}}{\sqrt{\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}}+1}.
Domínio: para f(f(x)) precisamos de x\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty) e de f(x)\in\mathrm{dom}(f)=[0,\infty), isto é f(x)\ge0. Mas para x\ge0 temos x\ge0 (numerador não negativo) e \sqrt{x}+1>0, então f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}\ge0. Portanto f(x)\ge0 para todo x\ge0, logo não há restrição extra. Assim
\mathrm{dom}(f\circ f)=[0,\infty).
Podemos também escrever f\circ f de forma um pouco simplificada usando a substituição y=\sqrt{x} (com y\ge0). Com y=\sqrt{x} tem f(x)=\dfrac{y^{2}}{y+1} e
(f\circ f)(x)=\frac{\dfrac{y^{2}}{y+1}}{\dfrac{y}{\sqrt{y+1}}+1} =\frac{y^{2}\sqrt{y+1}}{(y+1)\bigl(y+\sqrt{y+1}\bigr)}.
Voltando a x (lembrando y=\sqrt{x}):
(f\circ f)(x)=\frac{x\sqrt{\sqrt{x}+1}}{(\sqrt{x}+1)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{\sqrt{x}+1}\bigr)}.
Essa é uma forma equivalente, válida para x\ge0.

Passo 7

Usar a forma fatorada de g. Note que g(t)=t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3). Então
(g\circ g)(x)=g(g(x))=(g(x)-1)(g(x)-3).
Como g(x)=x^{2}-4x+3 obtemos
g(x)-1=x^{2}-4x+2,\qquad g(x)-3=x^{2}-4x,
portanto
(g\circ g)(x)=(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x).
Expandindo (opcional) dá um polinômio:
(g\circ g)(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}-8x.
Domínio: sendo um polinômio, está definido para todo x\in\mathbb{R}; assim
\mathrm{dom}(g\circ g)=(-\infty,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{\sqrt{x^{2}-4x+3}+1},\\ \mathrm{dom}(f\circ g)=(-\infty,1]\cup[3,\infty)\n
(g\circ f)(x)=\dfrac{x^{2}-4x^{3/2}-x+6x^{1/2}+3}{(\sqrt{x}+1)^{2}},\\ \mathrm{dom}(g\circ f)=[0,\infty)\n
(f\circ f)(x)=\dfrac{x\sqrt{\sqrt{x}+1}}{(\sqrt{x}+1)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{\sqrt{x}+1}\bigr)},\\ \mathrm{dom}(f\circ f)=[0,\infty)\n
(g\circ g)(x)=x^{4}-8x^{3}+18x^{2}-8x,\\ \mathrm{dom}(g\circ g)=(-\infty,\infty)

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