Considerando a representação em espaço de estados discreta
\begin{aligned} \dot{x}(k+1) & =\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 0.2 & 0.3 \end{array}\right] x(k)+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(k) \\\ y(k) & =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] x(k) \end{aligned}
a) Assumindo que todos as variáveis de estado estão disponiveis para realimentação, projetar um regulador (controlador com referència nula) por realimentaçào de estado tal que sua resposta em malha fechada ao degrau seja estável e não apresente sobressalto.
b) Considerando o sistema dado, na prática, seria possivel realizar a realimentação de estado? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema em tempo discreto
x(k+1)=A\,x(k)+B\,u(k),\quad y(k)=C\,x(k)
com
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0.2&0.3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}.
Queremos realimentação de estado u(k)=-K\,x(k) que torne a malha fechada estável e sem sobressalto ao degrau, ou seja, com polos reais no interior do círculo unitário. Para isso usaremos colocação de polos.

Passo 2

Verificamos a controlabilidade montando
\mathcal{C}=[\,B\;\;A\,B\,]=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0.3\end{pmatrix}.
Como \det\mathcal{C}=-1\neq0, o par (A,B) é controlável e podemos alocar os polos arbitrariamente.

Passo 3

Escolhemos dois polos reais e distintos em 0<p_1<p_2<1 para evitar sobressalto. Por exemplo
p_1=0.4,\quad p_2=0.5.
A característica desejada é
(z-p_1)(z-p_2)=z^2-(p_1+p_2)\,z+p_1p_2.

Passo 4

O sistema em malha fechada tem
A_{\rm cl}=A-BK =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0.2&0.3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}k_1&k_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0.2-k_1&0.3-k_2\end{pmatrix}.
Seu polinômio é
z^2-\bigl(0.3-k_2\bigr)z+(k_1-0.2).
Igualando aos coeficientes de z^2-(p_1+p_2)z+p_1p_2 vem
p_1+p_2=0.3-k_2,\quad p_1p_2=k_1-0.2.
Substituindo p_1=0.4, p_2=0.5 obtemos
k_2=0.3-(0.4+0.5)=-0.6,\quad k_1=0.4\cdot0.5+0.2=0.4.

Passo 5

Logo o ganho de realimentação é
K=\begin{pmatrix}k_1&k_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0.4&-0.6\end{pmatrix},
e a lei de controle fica
u(k)=-0.4\,x_1(k)+0.6\,x_2(k).

Passo 6

Na prática só se mede y(k)=x_1(k). A variável x_2(k) não é diretamente disponível, portanto não é possível implementar a realimentação u(k)=-K\,x(k) sem um estimador de estado (observador).

Resposta

a) K=[\,0.4\;,-0.6\,], com u(k)=-0.4\,x_1(k)+0.6\,x_2(k).
b) Não, porque só se mede y=x_1; x_2 não está disponível e seria preciso um observador para estimá-la antes de aplicar a realimentação de estado.

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