a) Obter a representação em espaço de estados discreta em função do período de amostragem T, considerando o uso de um segurador de ordem zero para a reconstruçào do sinal.
b) Obter a resposta y(k) do sistema discreto para os 3 primeiros intervalos, considerando uma condição inicial \left(x_{1}, x_{2}\right)=(1,1) e e um periodo de amostragem de T=1 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado dá um sistema contínuo homogêneo em espaço de estados
O que se quer é (a) a forma discreta com período de amostragem T usando segurador de ordem zero (zero-order hold) e (b) a saída y(k) nos três primeiros intervalos com condição inicial x(0)=(1,1)^\top e T=1. Para isso vamos usar o conceito de exponencial matricial para obter \Phi=e^{A T} e depois iterar a recursão discreta.
Passo 2
Em zero-order hold, sem entrada explícita a discretização fica
x[k+1]=\Phi\,x[k],\quad y[k]=C\,x[k],
onde
\Phi=e^{A T}.
Não há termo de entrada pois o sistema é homogêneo.
Passo 3
Para calcular \Phi=e^{A T} note que os autovalores de A são as raízes de \lambda^2+4\lambda+3=0, i.e.\ \lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=-3. Como são distintos, usa-se a fórmula