PROBLEMA: Para cada uma das funções de transferência a seguir, escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau:
G(s)=\frac{225}{s^{2}+30 s+225}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de um sistema de segunda ordem
G(s)=\frac{225}{s^{2}+30s+225}
e pede a resposta ao degrau unitário. Vamos usar o modelo canônico de um sistema de segunda ordem
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
para identificar os parâmetros naturais \omega_n e de amortecimento \zeta e depois escrever a forma geral da resposta ao degrau por inspeção.

Passo 2

Comparando o denominador
s^{2}+30s+225
com
s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2
temos
\omega_n^2=225\quad\Rightarrow\quad \omega_n=15,
2\zeta\omega_n=30\quad\Rightarrow\quad 2\zeta\cdot15=30\quad\Rightarrow\quad \zeta=1.

Passo 3

Como \zeta=1, o sistema é criticamente amortecido. Para um sistema criticamente amortecido com ganho de posição em regime permanente K=1, a resposta ao degrau unitário por inspeção é
y(t)=1-\bigl(1+\omega_n t\bigr)e^{-\omega_n t}.

Passo 4

Substituindo \omega_n=15 na forma geral, obtemos
y(t)=1-\bigl(1+15\,t\bigr)e^{-15\,t}.

Resposta

y(t)=1-\bigl(1+15\,t\bigr)e^{-15\,t}.

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