Determine se alguma das bases a seguir é ortogonal e/ou normal e/ou ortonormal
Passo 1
O enunciado pede para verificar, para a base
dada, se ela é ortogonal, se é normal e se é ortonormal. As informações fornecidas são os vetores que formam
:
As perguntas são, portanto:
-
é ortogonal? (os vetores são mutuamente ortogonais?) -
é normal? (cada vetor tem norma ?) -
é ortonormal? (é ortogonal e cada vetor tem norma ?)
Passo 2
Definição e teste de ortogonalidade (a parte didática): em
, o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores
e
é dado por
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero:
.
Agora aplico isso aos vetores dados. Calculando o produto escalar entre
e
:
Faço as contas passo a passo:
logo
Como o produto escalar é
, os vetores são mutuamente ortogonais. Conclusão:
é ortogonal.
Passo 3
Definição e cálculo da norma (a parte didática): a norma (comprimento) de um vetor
em
é
Um vetor é dito normalizado (ou unitário) se sua norma vale
. Uma base é chamada normal quando todos os vetores da base têm norma
.
Calculo a norma de
:
Calculo a norma de
:
Nenhuma das normas é igual a
. Portanto os vetores não são unitários e a base
não é normal.
Passo 4
Definição de ortonormalidade (didática): uma base é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma
. Já vimos que
é ortogonal, mas não é normal (os vetores não têm norma
). Logo
não é ortonormal.
Uma dica prática para a prova: a partir de uma base ortogonal de vetores não unitários é muito simples obter uma base ortonormal — basta normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma. Por exemplo, normalizando
e
obtemos
Esses
e
têm norma
e continuam ortogonais, ou seja, formam uma base ortonormal associada a
. Isso é útil se a prova pedir uma base ortonormal gerada por
.
Passo 5
Comentário final e conclusão rápida: como
e
são ortogonais e ambos são vetores não nulos, eles são linearmente independentes e, portanto, de fato formam uma base de
. Essa base é ortogonal, mas não é normal nem ortonormal.
Resposta
Ortogonal: sim
Normal: não
Ortonormal: não
Normal: não
Ortonormal: não