Determine se alguma das bases a seguir é ortogonal e/ou normal e/ou ortonormal
B=\{(3,-6) ;(-8,-4)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, para a base B dada, se ela é ortogonal, se é normal e se é ortonormal. As informações fornecidas são os vetores que formam B:
  • v_1=(3,-6)
  • v_2=(-8,-4)
As perguntas são, portanto:
  • B é ortogonal? (os vetores são mutuamente ortogonais?)
  • B é normal? (cada vetor tem norma 1?)
  • B é ortonormal? (é ortogonal e cada vetor tem norma 1?)

Passo 2

Definição e teste de ortogonalidade (a parte didática): em \mathbb{R}^2, o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores a=(a_1,a_2) e b=(b_1,b_2) é dado por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Dois vetores são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero: a\cdot b = 0.
Agora aplico isso aos vetores dados. Calculando o produto escalar entre v_1 e v_2:
v_1\cdot v_2 = (3)(-8) + (-6)(-4).
Faço as contas passo a passo:
(3)(-8) = -24,\qquad (-6)(-4)=24,
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v_1\cdot v_2 = -24 + 24 = 0.
Como o produto escalar é 0, os vetores são mutuamente ortogonais. Conclusão: B é ortogonal.

Passo 3

Definição e cálculo da norma (a parte didática): a norma (comprimento) de um vetor a=(a_1,a_2) em \mathbb{R}^2 é
\|a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
Um vetor é dito normalizado (ou unitário) se sua norma vale 1. Uma base é chamada normal quando todos os vetores da base têm norma 1.
Calculo a norma de v_1:
\|v_1\|=\sqrt{3^2+(-6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
Calculo a norma de v_2:
\|v_2\|=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.
Nenhuma das normas é igual a 1. Portanto os vetores não são unitários e a base B não é normal.

Passo 4

Definição de ortonormalidade (didática): uma base é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma 1. Já vimos que B é ortogonal, mas não é normal (os vetores não têm norma 1). Logo B não é ortonormal.
Uma dica prática para a prova: a partir de uma base ortogonal de vetores não unitários é muito simples obter uma base ortonormal — basta normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma. Por exemplo, normalizando v_1 e v_2 obtemos
u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{1}{3\sqrt{5}}(3,-6)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right),
u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|}=\frac{1}{4\sqrt{5}}(-8,-4)=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Esses u_1 e u_2 têm norma 1 e continuam ortogonais, ou seja, formam uma base ortonormal associada a B. Isso é útil se a prova pedir uma base ortonormal gerada por B.

Passo 5

Comentário final e conclusão rápida: como v_1 e v_2 são ortogonais e ambos são vetores não nulos, eles são linearmente independentes e, portanto, de fato formam uma base de \mathbb{R}^2. Essa base é ortogonal, mas não é normal nem ortonormal.

Resposta

Ortogonal: sim
Normal: não
Ortonormal: não

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