Considerando-se que
& sen(alpha+beta)=sen alpha cos beta+sen beta cos alpha & cos (alpha+beta)=cos alpha cos beta-sen alpha sen beta
determine sen(3 x) e cos (3 x) em termos de sen x e cos x.

Passo 1

O enunciado pede para achar sin(3x) e cos(3x) em função de sin x e cos x, usando as fórmulas de soma de ângulos: sin(α+β)=sin αcos β+sin βcos α e cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. Vamos precisar também das fórmulas de ângulo duplo: sin(2x) e cos(2x).

Passo 2

Usando a fórmula de soma para sin(3x), escrevemos:
sin(3x)=sin(2x+x)=sin(2x)cos x+cos(2x)sin x

Passo 3

Lembrando as identidades de ângulo duplo:
sin(2x)=2,sin x,cos x
cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x

Passo 4

Substituindo essas em sin(3x):
sin(3x)=l(2sin xcos xr)cos x+l(cos^2 x-sin^2 xr)sin x
Agora distribuímos e somamos termos semelhantes:
sin(3x)=2sin xcos^2 x+sin xcos^2 x-sin^3 x=3sin xcos^2 x-sin^3 x

Passo 5

Para cos(3x), aplicamos a soma de ângulos:
cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos x-sin(2x)sin x
Substituindo as mesmas identidades de duplo ângulo e simplificando:
cos(3x)=(cos^2 x-sin^2 x)cos x-(2sin xcos x)sin x=cos^3 x-3cos xsin^2 x

Resposta

sin(3x)=3,sin x,cos^2 x-sin^3 x e cos(3x)=cos^3 x-3,cos x,sin^2 x.

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