Determine uma função quadrática cujo gráfico intercepta o eixo y em y=6, que tenha um dos zeros em x=5 e que atinja o valor mínimo de -1 / 4. Quantas funções existem com essas características?

Passo 1

O enunciado pede uma função quadrática que satisfaça três condições: intercepto em y igual a 6, um zero em x=5 e valor mínimo igual a -1/4. Vamos usar o conteúdo de forma de vértice para resolver.

Passo 2

Escrevemos a função na forma de vértice, que para mínimo k e abertura para cima (a>0) é
f(x)=a(x-h)^2 + k
Como o valor mínimo é -1/4, temos k=-1/4. Logo
f(x)=a(x-h)^2 - tfrac14

Passo 3

Aplicamos as duas condições adicionais: f(0)=6 e f(5)=0. Isso gera o sistema
a,h^2 - tfrac14 =6,
a(5 - h)^2 - tfrac14 =0

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar a, obtemos
h^2(5-h)^2 = 6+tfrac14tfrac14 =25,
ou seja
l(h5-hr)^2=25 implies h5-h=pm5

Passo 5

Resolvendo h/(5-h)=5 h=25/6 e então a=(25/4)/h^2=9/25. Resolvendo h/(5-h)=-5 h=25/4 e

Passo 6

Substituindo cada par (h,a) na forma de vértice, obtemos duas funções distintas. Não há mais soluções.

Resposta

Existem duas funções: f1(x)=tfrac925l(x-tfrac256r)^2 -tfrac14 e f2(x)=tfrac425l(x-tfrac254r)^2 -tfrac14.

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