Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

A equação dada é y'=e^2x+y-1. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem que não está exata, e vamos usar fator integrante para torná-la exata e depois resolver por potencial.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Partindo de y'-(e^2x+y-1)=0, temos
M(x,y) = -(e^2x+y-1), N(x,y)=1

Passo 3

Verificamos exatidão comparando My e Nx:
My = -1, Nx = 0,
logo não é exata.

Passo 4

Como
My - NxN = -1-01 = -1
depende apenas de x, assumimos fator integrante mu(x). Calculamos
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 5

Multiplicamos a equação diferencial por e^-x e obtemos uma nova forma exata:
tilde M(x,y) = -e^x - y e^-x + e^-x, tilde N(x,y)=e^-x

Passo 6

Agora existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = tilde M, psiy = tilde N

Passo 7

Integramos psix em relação a x:
psi(x,y) = integral(-e^x - y e^-x + e^-x),dx = -e^x + y e^-x - e^-x + h(y)

Passo 8

Derivando em y e igualando a psiy = e^-x mostra que h'(y)=0, ou seja, h(y)=C constante. A solução implícita é
-e^x + y e^-x - e^-x = C

Passo 9

Podemos reescrever explicitamente:
y = e^2x + 1 + C e^x

Resposta

O fator integrante é mu(x)=e^-x e a solução geral da EDO é y = e^2x + 1 + C e^x.

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