Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
Passo 1
A equação dada é
. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem que não está exata, e vamos usar fator integrante para torná-la exata e depois resolver por potencial.
Passo 2
Reescrevemos em forma diferencial
. Partindo de
, temos
Passo 3
Verificamos exatidão comparando
e
:
logo não é exata.
Passo 4
Como
depende apenas de
Passo 5
Multiplicamos a equação diferencial por
e obtemos uma nova forma exata:
Passo 6
Agora existe uma função potencial
tal que
Passo 7
Integramos
em relação a
:
Passo 8
Derivando em
e igualando a
mostra que
, ou seja,
constante. A solução implícita é
Passo 9
Podemos reescrever explicitamente:
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral da EDO é
.