Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva y=2^-x, o eixo x e o eixo y. [R: 1 / ln 2]

Passo 1

Nesse exercício a gente quer encontrar a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva y=2^-x, pelo eixo x e pelo eixo y. O conteúdo envolvido é cálculo de integral imprópria de função exponencial, então vamos usar propriedades de integrais e da função exponencial.

Passo 2

Para traduzir essa área em uma integral, note que em cada x fixo entre 0 e infinito a altura da região é y=2^-x. Assim,
A = integral0^infty 2^-x ,dx

Passo 3

Como 2^-x=e^-xln2, a integral vira
A = integral0^infty e^-xln2 ,dx

Passo 4

Agora vamos calcular essa integral imprópria. Primeiro achamos a primitiva:
integral e^-xln2 ,dx = -1ln2 e^-xln2 + C

Passo 5

Então, avaliando de 0 até um limite b>0:
integral0^b e^-xln2 ,dx = l[-1ln2e^-xln2r]0^b = -1ln2e^-bln2 + 1ln2

Passo 6

Por fim, avaliamos o limite quando btoinfty. Como e^-bln2to0, a integral converge e obtemos
limbtoinftyl(-1ln2e^-bln2 + 1ln2r) = 1ln2

Resposta

A = 1ln2

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