Considerando a série sumn=0^infty(-1)^n x^n :
3. Encontrar uma representação em série de potência para a função 21+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma representação em série de potência para a função . O conteúdo envolve séries de potência e, especificamente, vamos usar séries geométricas para resolver isso. Vamos precisar manipular a série geométrica básica e adaptar ela pra encaixar na função que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica:
sumn=0^infty (-1)^n x^n = 11 + x
Essa série é válida quando . A gente vai usar essa expressão como base para transformar na série que precisamos.

Passo 3

Agora, queremos a série para 11 + x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n . Observa que na expressão original temos no denominador, e na que queremos, temos . Para adaptar, basta substituir por na série geométrica que já conhecemos:
Isso porque é o mesmo que , seguindo a estrutura da série geométrica.

Passo 4

Por fim, como a função que queremos é 21 + x^2 = 2 sumn=0^infty (-1)^n x^2n , multiplicamos toda a série por 2:

Resposta

A representação em série de potência para 21 + x^2 = 2 sumn=0^infty (-1)^n x^2n é:

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