Sejam
e
a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Determine o fluxo de
através de
.
Passo 1
A questão pede o fluxo de F(x,y,z) = (xy + z^8)i + 3y^2 j – (x + 4z) k através da superfície S que encerra o sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 4x + 9y + 7z = 8. Vamos usar o teorema da divergência, conteúdo de cálculo vetorial, que nos faz calcular a divergência de F e integrar sobre o volume V do tetraedro.
Passo 2
Primeiro, achamos a divergência de F, dada por ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Para P = xy + z^8, Q = 3y^2 e R = –(x + 4z), usamos que ∂(xy + z^8)/∂x = y, ∂(3y^2)/∂y = 6y e ∂(–x – 4z)/∂z = –4. Logo,
Passo 3
Pelo teorema da divergência, o fluxo é
Passo 4
O sólido V é um tetraedro com interceptos em x = 2, y = 8/9 e z = 8/7. O volume é
Passo 5
Em tetraedros do tipo em primeiro octante, a coordenada y média vale b/4, com b = 8/9. Assim,
Passo 6
Substituindo, o fluxo fica
Resposta
-\frac{1408}{1701}