Sejam F(x, y, z)=(x y+z^8) i+3 y^2 j-(x+4 z) k e S a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 4 x+9 y+7 z=8. Determine o fluxo de F através de S.

Passo 1

A questão pede o fluxo de F(x,y,z) = (xy + z^8)i + 3y^2 j – (x + 4z) k através da superfície S que encerra o sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 4x + 9y + 7z = 8. Vamos usar o teorema da divergência, conteúdo de cálculo vetorial, que nos faz calcular a divergência de F e integrar sobre o volume V do tetraedro.

Passo 2

Primeiro, achamos a divergência de F, dada por ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z. Para P = xy + z^8, Q = 3y^2 e R = –(x + 4z), usamos que ∂(xy + z^8)/∂x = y, ∂(3y^2)/∂y = 6y e ∂(–x – 4z)/∂z = –4. Logo,
nablacdot F = y + 6y 4 = 7y 4

Passo 3

Pelo teorema da divergência, o fluxo é
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaV (7y 4),dV = 7integral triplaV y,dV 4integral triplaV dV

Passo 4

O sólido V é um tetraedro com interceptos em x = 2, y = 8/9 e z = 8/7. O volume é
Vol(V) = 16(2)l(89r)l(87r) = 64189

Passo 5

Em tetraedros do tipo em primeiro octante, a coordenada y média vale b/4, com b = 8/9. Assim,
integral triplaV y,dV = l(8/94r)Vol(V) = 29cdot64189 = 1281701

Passo 6

Substituindo, o fluxo fica
7cdot1281701 - 4cdot64189 = 8961701 - 23041701 = -14081701

Resposta

-\frac{1408}{1701}

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