: Calcule
, onde
é o elipsoide
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial
sobre a superfície
, que é o elipsoide dado por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes. Precisaremos entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema de Stokes para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo
, o rotacional é dado por:
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
:
Primeiro, identificamos
,
, e
.
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
onde
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de
sobre
com a integral de linha de
ao redor da borda de
:
No entanto, nosso elipsoide
é uma superfície fechada, o que significa que não possui borda (
). Portanto, a integral de linha ao redor da borda de
é zero.
Passo 5
Como a integral de linha ao redor da borda de
é zero, pelo teorema de Stokes, concluímos que:
Resposta
O valor da integral é
.