(1,5) : Calcule integral duplaS Rot(F) cdot d S, onde S é o elipsoide 4 x^2+9 y^2+6 z^2=36 e F(x, y, z) = e^x^2 i+sen(x^2+y^2+z^2) j+tg(x^2+y^2+z^2) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre a superfície , que é o elipsoide dado por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema de Stokes. Precisaremos entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema de Stokes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k ou , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo , o rotacional é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F(x, y, z) = e^x^2 i + sin(x^2 + y^2 + z^2) j + tan(x^2 + y^2 + z^2) k :
partial Rpartial y = partialpartial y tan(x^2 + y^2 + z^2) = sec^2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2y
Primeiro, identificamos partial Qpartial z = partialpartial z sin(x^2 + y^2 + z^2) = cos(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2z , partial Ppartial z = partialpartial z e^x^2 = 0 , e partial Rpartial x = partialpartial x tan(x^2 + y^2 + z^2) = sec^2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2x .
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x sin(x^2 + y^2 + z^2) = cos(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2x
partial Ppartial y = partialpartial y e^x^2 = 0
nabla times F = ( sec^2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2y - cos(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2z ) i + ( 0 - sec^2(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2x ) j + ( cos(x^2 + y^2 + z^2) cdot 2x - 0 ) k
nabla times F = ( 2y sec^2(r^2) - 2z cos(r^2) ) i - 2x sec^2(r^2) j + 2x cos(r^2) k
Substituindo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
onde .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr sobre com a integral de linha de ao redor da borda de :
No entanto, nosso elipsoide é uma superfície fechada, o que significa que não possui borda ( ). Portanto, a integral de linha ao redor da borda de é zero.

Passo 5

Como a integral de linha ao redor da borda de integral duplaS (nabla times F) cdot dS = 0 é zero, pelo teorema de Stokes, concluímos que:

Resposta

O valor da integral é .

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