Considerando a série sumn=0^infty(-1)^n x^n :
2. Encontrar sua soma e seu intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série sumn=0^infty(-1)^n x^n e determinar seu intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que a série dada é uma série geométrica. Séries geométricas são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 3

Na nossa série, cada termo é (-1)^n x^n. Podemos reescrever isso como [(-1) cdot x]^n. Assim, a razão da série geométrica é r = -x.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1. Ou seja, precisamos que:
|r| = |-x| < 1 implies |x| < 1
Isso define o intervalo de convergência da série.

Passo 5

Quando a série converge, a soma de uma série geométrica é dada pela fórmula:
S = a01 - r
onde a0 é o primeiro termo da série. No nosso caso, a0 = 1 (quando n=0) e r = -x.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
S = 11 - (-x) = 11 + x

Resposta

A soma da série é 11 + x e o intervalo de convergência é |x| < 1.

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