Considerando a série
:
2. Encontrar sua soma e seu intervalo de convergência.
2. Encontrar sua soma e seu intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a soma da série
e determinar seu intervalo de convergência. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos perceber que a série dada é uma série geométrica. Séries geométricas são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 3
Na nossa série, cada termo é
. Podemos reescrever isso como
. Assim, a razão da série geométrica é
.
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1. Ou seja, precisamos que:
Isso define o intervalo de convergência da série.
Passo 5
Quando a série converge, a soma de uma série geométrica é dada pela fórmula:
onde
é o primeiro termo da série. No nosso caso,
(quando
) e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Resposta
A soma da série é
e o intervalo de convergência é
.