Encontre a massa e comprimento de um arame que está sobre a curva x^2+y^2 no primeiro quadrante de (0,2) a (raiz2, raiz2), se a densidade for rho(x, y)=x^2-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa e o comprimento de um arame que está sobre a curva no primeiro quadrante, indo do ponto até . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha para massa e comprimento de arcos. A densidade do arame é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que a equação x = 2cos(theta) representa um círculo de raio 2. Como estamos no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização em termos de um ângulo y = 2sin(theta) :
Os pontos e correspondem aos ângulos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para o comprimento diferencial da curva, dxdtheta = -2sin(theta) . Com a parametrização em termos de dydtheta = 2cos(theta) , temos:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta = raiz4sin^2(theta) + 4cos^2(theta) , dtheta = raiz4(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = 2 , dtheta
Então,
Usamos aqui a identidade trigonométrica .

Passo 4

Vamos calcular o comprimento do arame. A integral para o comprimento L = integrala^b ds = integralpi4^pi2 2 , dtheta = 2 ( pi2 - pi4 ) = 2 ( pi4 ) = pi2 é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa do arame. A massa M = integrala^b rho(x, y) , ds é dada por:
M = integralpi4^pi2 ( (2costheta)^2 - 2sintheta ) cdot 2 , dtheta = integralpi4^pi2 (4cos^2theta - 2sintheta ) cdot 2 , dtheta
Substituindo M = 2 integralpi4^pi2 (4cos^2theta - 2sintheta ) , dtheta = 8 integralpi4^pi2 cos^2theta , dtheta - 4 integralpi4^pi2 sintheta , dtheta e as parametrizações:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Simplificando:
8 integral cos^2theta , dtheta = 8 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 4 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta = 4 ( theta + sin(2theta)2 )
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para -4 integral sintheta , dtheta = -4 (-costheta) = 4costheta , usamos a identidade:
M = 4 [ theta + sin(2theta)2 ]pi4^pi2 + 4 [ costheta ]pi4^pi2
Então:
4 ( pi2 + sin(pi)2 - ( pi4 + sin(pi2)2 ) ) = 4 ( pi2 + 0 - pi4 - 12 ) = 4 ( pi4 - 12 ) = pi - 2
Para 4 ( cos(pi2) - cos(pi4) ) = 4 ( 0 - raiz22 ) = -2raiz2 :
M = (pi - 2) + (-2raiz2) = pi - 2 - 2raiz2
Agora, avaliando de a :
Calculando cada termo:
Para :
Para :
Juntando tudo:

Resposta

O comprimento do arame é unidades e a massa é unidades de massa.

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