Encontre a massa e comprimento de um arame que está sobre a curva
no primeiro quadrante de
a
, se a densidade for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a massa e o comprimento de um arame que está sobre a curva
no primeiro quadrante, indo do ponto
até
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de linha para massa e comprimento de arcos. A densidade do arame é dada por
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Sabemos que a equação
representa um círculo de raio 2. Como estamos no primeiro quadrante, podemos usar a parametrização em termos de um ângulo
:
Os pontos
e
correspondem aos ângulos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para o comprimento diferencial da curva,
. Com a parametrização em termos de
, temos:
Então,
Usamos aqui a identidade trigonométrica
.
Passo 4
Vamos calcular o comprimento do arame. A integral para o comprimento
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa do arame. A massa
é dada por:
Substituindo
e as parametrizações:
Simplificando:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para
, usamos a identidade:
Então:
Para
:
Agora, avaliando de
a
:
Calculando cada termo:
Para :
Para
Para
:
Juntando tudo:
Resposta
O comprimento do arame é
unidades e a massa é
unidades de massa.