Considerando a série
:
- Descrever e dizer o que se sabe sobre ela: nome, tipo, comportamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma série matemática:
. O que precisamos fazer aqui é descrever essa série, dizer qual o nome dela, que tipo de série é e como ela se comporta. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries infinitas e, mais especificamente, de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos nessa série. A série é da forma
. Aqui, cada termo da série é dado por
.
Uma série que tem a forma geral
, onde
é o primeiro termo e
é a razão, é chamada de série geométrica. No nosso caso,
(quando
,
) e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o comportamento dessa série. Uma série geométrica é convergente se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Caso contrário, ela é divergente.
No nosso caso,
. Então, o critério de convergência fica
, que simplifica para
. Isso significa que a série só vai somar a um valor finito quando o valor absoluto de
for menor que 1.
Além disso, se a série converge, a soma dela pode ser calculada usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
A série
é uma série geométrica com razão
. Ela converge quando o valor absoluto de
é menor que 1 (
) e, nesse caso, sua soma é igual a
. Se
, a série diverge.