Considerando a série sumn=0^infty(-1)^n x^n :
  1. Descrever e dizer o que se sabe sobre ela: nome, tipo, comportamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma série matemática: sumn=0^infty(-1)^n x^n. O que precisamos fazer aqui é descrever essa série, dizer qual o nome dela, que tipo de série é e como ela se comporta. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries infinitas e, mais especificamente, de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos nessa série. A série é da forma sumn=0^infty(-1)^n x^n. Aqui, cada termo da série é dado por an = (-1)^n x^n.
Uma série que tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão, é chamada de série geométrica. No nosso caso, a = 1 (quando n=0, (-1)^0 x^0 = 1) e r = -x.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o comportamento dessa série. Uma série geométrica é convergente se o valor absoluto da razão |r| for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Caso contrário, ela é divergente.
No nosso caso, r = -x. Então, o critério de convergência fica |-x| < 1, que simplifica para |x| < 1. Isso significa que a série só vai somar a um valor finito quando o valor absoluto de x for menor que 1.
Além disso, se a série converge, a soma dela pode ser calculada usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo a = 1 e r = -x, temos:
S = 11 - (-x) = 11 + x

Resposta

A série sumn=0^infty(-1)^n x^n é uma série geométrica com razão r = -x. Ela converge quando o valor absoluto de x é menor que 1 ( |x| < 1) e, nesse caso, sua soma é igual a 11 + x. Se |x| >= 1, a série diverge.

Exercícios relacionados