Suponha que você precisa analisar um determinado sistema físico. Você pode aplicar quaisquer entradas x(t) que desejar no sistema, e a saída y(t) é prontamente disponibilizada para você. Considerando todos os conceitos que foram discutidos em sala de aula, responda:
(a) Que tipo de testes você pode realizar no sistema a fim de verificar se o mesmo é linear?
(b) Que tipo de testes você pode realizar no sistema a fim de verificar se o mesmo é invariante no tempo?
(c) Como você poderia obter a resposta ao impulso do sistema?

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema qualquer que responde à entrada x(t) com a saída y(t), e pede três coisas:
– (a) como testar se o sistema é linear;
– (b) como testar se é invariante no tempo;
– (c) como obter sua resposta ao impulso.
Os conceitos-chave são superposição e homogeneidade (para linearidade), deslocamento no tempo (para invariância) e a definição de resposta ao impulso.

Passo 2

Para verificar linearidade, use os princípios de aditividade e homogeneidade simultaneamente. Escolha duas entradas quaisquer x_1(t) e x_2(t) e dois escalares \alpha,\beta. Aplique ao sistema a entrada composta
x(t) = \alpha\,x_1(t) + \beta\,x_2(t).
Meça a saída correspondente y(t) e compare com
\alpha\,y_1(t) + \beta\,y_2(t),
onde y_1(t) é a resposta a x_1(t) e y_2(t) a x_2(t). Se para todo \alpha,\beta,x_1,x_2 valer
y(t) = \alpha\,y_1(t) + \beta\,y_2(t),
então o sistema é linear.

Passo 3

Para verificar invariância no tempo, explore o deslocamento temporal. Pegue uma entrada qualquer x(t) com resposta y(t). Em seguida, aplique a entrada atrasada x(t - t_0) (para algum t_0\neq0) e meça a nova saída y_{\rm new}(t). Se o sistema for invariante no tempo, deve ocorrer
y_{\rm new}(t) = y(t - t_0).
Caso apareça qualquer diferença de forma que y_{\rm new}(t)\neq y(t - t_0), o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Para obter a resposta ao impulso h(t), aplique ao sistema o delta de Dirac \delta(t) como entrada e meça a saída:
h(t) = \text{saída quando }x(t)=\delta(t).í
Na prática, se não for possível gerar um impulso ideal, use um pulso muito estreito de área unitária (ou meça a resposta a um degrau e depois diferencie numericamente).

Resposta

(a) Aplique entradas \alpha x_1(t)+\beta x_2(t) e verifique se a saída satisfaz
y(t)=\alpha y_1(t)+\beta y_2(t),
para testar superposição e homogeneidade.
(b) Aplique x(t-t_0) e verifique se a saída é y(t-t_0), garantindo invariância no tempo.
(c) Entre com x(t)=\delta(t) (ou pulso estreito de área unitária) e registre a saída h(t), que é a resposta ao impulso.

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