Considerando o sistema abaixo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e uma função de entrada $ x(t) $. O objetivo é encontrar a transformada de Laplace de $ y(t) $, que é dada por $ Y(s) $. Para isso, vamos usar a teoria das transformadas de Laplace aplicadas a equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma derivada, como $ \frac{dy(t)}{dt} $, é dada por:
Como $ y(0^-) = 0 $, isso simplifica para:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Transformando, temos:
Isso porque $ \mathcal{L}{2 y(t)} = 2 Y(s) $.
Passo 4
Vamos calcular $ X(s) $, a transformada de Laplace de $ x(t) $:
Sabemos que $ \mathcal{L}{e^{at} u(t)} = \frac{1}{s - a} $, então:
Passo 5
Substituindo $ X(s) $ na equação transformada:
Fatorando $ Y(s) $:
Passo 6
Isolando $ Y(s) $:
Para simplificar, vamos combinar as frações no numerador:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace de $ y(t) $ é: