Considerando o sistema abaixo, determine Y(s) :
d y(t)d t+2 y(t)=x(t)
x(t)=2 e^t u(t)-3 e^2 t u(t)
y(0^-)=d yd t(0^-)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial e uma função de entrada $ x(t) $. O objetivo é encontrar a transformada de Laplace de $ y(t) $, que é dada por $ Y(s) $. Para isso, vamos usar a teoria das transformadas de Laplace aplicadas a equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma derivada, como $ \frac{dy(t)}{dt} $, é dada por:
dy(t)dt
Como $ y(0^-) = 0 $, isso simplifica para:
Ldy(t)dt = s Y(s) - y(0^-)

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
dy(t)dt + 2 y(t) = x(t)
Transformando, temos:
s Y(s) + 2 Y(s) = X(s)
Isso porque $ \mathcal{L}{2 y(t)} = 2 Y(s) $.

Passo 4

Vamos calcular $ X(s) $, a transformada de Laplace de $ x(t) $:
X(s)
Sabemos que $ \mathcal{L}{e^{at} u(t)} = \frac{1}{s - a} $, então:
x(t)

Passo 5

Substituindo $ X(s) $ na equação transformada:
X(s)
Fatorando $ Y(s) $:
s Y(s) + 2 Y(s) = 2s - 1 - 3s - 2

Passo 6

Isolando $ Y(s) $:
Y(s)
Para simplificar, vamos combinar as frações no numerador:
Y(s) = 2s - 1 - 3s - 2s + 2
Podemos fatorar o numerador:
Y(s) = 2(s - 2) - 3(s - 1)(s - 1)(s - 2)(s + 2) = 2s - 4 - 3s + 3(s - 1)(s - 2)(s + 2) = -s - 1(s - 1)(s - 2)(s + 2)
Então:
-s - 1 = - (s + 1)

Resposta

A transformada de Laplace de $ y(t) $ é:
y(t)

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