Suponha que, em um experimento de Franck-Hertz, elétrons de energia até 13,0 eV possam ser produzidos no tubo. Se o tubo contém hidrogênio atômico, (a) determine o menor comprimento de onda que pode ser gerado no tubo; (b) faça uma lista de todas as linhas do hidrogênio que podem ser geradas no tubo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos falando de um experimento de Franck-Hertz onde elétrons com energia até 13,0 eV são produzidos num tubo que contém hidrogênio atômico. Precisamos resolver duas coisas:
a) Encontrar o menor comprimento de onda que pode ser gerado no tubo.
b) Listar todas as linhas do hidrogênio que podem ser geradas no tubo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia dos elétrons, comprimento de onda e as linhas espectrais do hidrogênio.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): determinar o menor comprimento de onda que pode ser gerado no tubo.
O comprimento de onda (λ) está relacionado com a energia (E) do elétron através da fórmula:
E = hclambda
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck ($6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ c $ é a velocidade da luz ($3,00 \times 10^{8} $ m/s),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Queremos encontrar o menor λ, o que significa a maior energia possível. Como os elétrons têm energia máxima de 13,0 eV, vamos usar essa energia para calcular o menor comprimento de onda.

Passo 3

Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. A constante de Planck $ h $ e a velocidade da luz $ c $ geralmente são dadas em unidades que não incluem elétron-volts (eV). Então, vamos converter a energia de eV para joules (J):
h
Assim,
c

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula para resolver $ \lambda $:
lambda
Substituindo os valores:
lambda = hcE

Passo 5

Calculando o valor:
lambda = 1,9878 times 10^-25 , J·m2,0826 times 10^-18 , J approx 9,545 times 10^-8 , m
Convertendo para nanômetros (1 m = 10^9 nm):
lambda approx 95,45 , nm

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): listar todas as linhas do hidrogênio que podem ser geradas no tubo.
As linhas espectrais do hidrogênio correspondem a transições de elétrons entre diferentes níveis de energia. A energia de uma transição entre os níveis $ n_i $ e $ n_f $ é dada por:
ni
Queremos todas as transições onde $ \Delta E \leq 13,0 , eV $.

Passo 7

Vamos considerar as principais séries das linhas espectrais do hidrogênio:
  1. Série Lyman: transições para $ n_f = 1 $
  2. Série Balmer: transições para $ n_f = 2 $
  3. Série Paschen: transições para $ n_f = 3 $
  4. Série Brackett: transições para $ n_f = 4 $
  5. Série Pfund: transições para $ n_f = 5 $
Vamos calcular $ \Delta E $ para algumas dessas transições e verificar se são menores ou iguais a 13,0 eV.

Passo 8

Série Lyman ($ n_f = 1 $):
  • $ n_i = 2 $: $ \Delta E = 13,6 \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 10,2 , eV $
  • $ n_i = 3 $: $ \Delta E = 13,6 \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 12,1 , eV $
  • $ n_i = 4 $: $ \Delta E = 13,6 \left(1 - \frac{1}{16}\right) = 12,75 , eV $
  • $ n_i = 5 $: $ \Delta E = 13,6 \left(1 - \frac{1}{25}\right) = 13,06 , eV $ (aprox. 13,0 eV)
Observação: A transição de $ n_i = 5 $ está no limite, mas considerando arredondamentos, pode ser incluída.

Passo 9

Série Balmer ($ n_f = 2 $):
  • $ n_i = 3 $: $ \Delta E = 13,6 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 1,89 , eV $
  • $ n_i = 4 $: $ \Delta E = 13,6 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}\right) = 2,55 , eV $
  • $ n_i = 5 $: $ \Delta E = 13,6 \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}\right) = 3,04 , eV $
Todas essas transições são menores que 13,0 eV.

Passo 10

Outras séries (Paschen, Brackett, Pfund) também têm transições com $ \Delta E $ bem menores que 13,0 eV, então todas podem ser incluídas.

Resposta

a) O menor comprimento de onda que pode ser gerado no tubo é aproximadamente 95,45 nm.
b) As linhas do hidrogênio que podem ser geradas no tubo incluem:
  • Série Lyman: $ n_i = 2 $ a $ n_f = 1 $, $ n_i = 3 $ a $ n_f = 1 $, $ n_i = 4 $ a $ n_f = 1 $, e $ n_i = 5 $ a $ n_f = 1 $.
  • Série Balmer: todas as transições de $ n_i \geq 3 $ para $ n_f = 2 $.
  • Séries Paschen, Brackett, Pfund, etc., para transições de $ n_i \geq n_f +1 $ correspondentes.

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