Plote o gráfico 2 u(t+2)-2 u(t)+u(t-1)-u(t-2) :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve funções de degrau, também conhecidas como funções unitárias, que são bem comuns em análise de sinais e sistemas. A gente vai precisar entender como essas funções funcionam e como combiná-las para plotar o gráfico da expressão 2 cdot u(t+2) - 2 cdot u(t) + u(t-1) - u(t-2).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de degrau u(t). Essa função vale 0 para todo t menor que 0 e vale 1 para todo t maior ou igual a 0. Então, u(t) é como um interruptor que liga em t = 0. Quando a gente tem u(t+a), isso significa que o interruptor está se ligando em t = -a.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos onde cada uma dessas funções de degrau muda de valor, ou seja, onde elas “ligam”. Na nossa expressão temos:
  • u(t+2) liga em t = -2
  • u(t) liga em t = 0
  • u(t-1) liga em t = 1
  • u(t-2) liga em t = 2
Esses pontos vão nos ajudar a dividir o eixo do tempo em intervalos para calcular o valor da função total.

Passo 4

Vamos calcular a expressão 2 cdot u(t+2) - 2 cdot u(t) + u(t-1) - u(t-2) em cada intervalo definido pelos pontos que encontramos: t < -2, -2 <= t < 0, 0 <= t < 1, 1 <= t < 2 e t >= 2.
  • Para t < -2:
    • u(t+2) = 0
    • u(t) = 0
    • u(t-1) = 0
    • u(t-2) = 0
    • Expressão total: 0 - 0 + 0 - 0 = 0
  • Para -2 <= t < 0:
    • u(t+2) = 1
    • u(t) = 0
    • u(t-1) = 0
    • u(t-2) = 0
    • Expressão total: 2 cdot 1 - 0 + 0 - 0 = 2
  • Para 0 <= t < 1:
    • u(t+2) = 1
    • u(t) = 1
    • u(t-1) = 0
    • u(t-2) = 0
    • Expressão total: 2 cdot 1 - 2 cdot 1 + 0 - 0 = 0
  • Para 1 <= t < 2:
    • u(t+2) = 1
    • u(t) = 1
    • u(t-1) = 1
    • u(t-2) = 0
    • Expressão total: 2 cdot 1 - 2 cdot 1 + 1 - 0 = 1
  • Para t >= 2:
    • u(t+2) = 1
    • u(t) = 1
    • u(t-1) = 1
    • u(t-2) = 1
    • Expressão total: 2 cdot 1 - 2 cdot 1 + 1 - 1 = 0

Passo 5

Agora que temos os valores da função em cada intervalo, vamos montar o gráfico:
  • De t < -2, a função vale 0.
  • De -2 <= t < 0, a função sobe para 2.
  • De 0 <= t < 1, a função desce de volta para 0.
  • De 1 <= t < 2, a função sobe para 1.
  • De t >= 2, a função volta a valer 0.

Resposta

O gráfico da função 2 cdot u(t+2) - 2 cdot u(t) + u(t-1) - u(t-2) é composto por:
  • Valor 0 para t < -2,
  • Pula para 2 em t = -2 e fica constante até t = 0,
  • Desce para 0 em t = 0 e permanece até t = 1,
  • Sobe para 1 em t = 1 e mantém até t = 2,
  • Retorna para 0 em t = 2 e permanece para t >= 2.

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