A câmara do rei da Grande Pirâmide de Gizé está localizada em seu centroide. Supondo que a pirâmide seja sólida, prove que esse ponto está em barz=14 h. Sugestão: use um elemento de placa diferencial retangular com espessura d z e área (2 x)(2 y).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente quer encontrar o ponto central na altura (ou seja, a coordenada z) da câmara do rei na Grande Pirâmide de Gizé. Esse ponto central é chamado de centroide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de centroide para sólidos, especificamente para pirâmides.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a pirâmide em um sistema de coordenadas. Vamos colocar a base da pirâmide no plano $ z = 0 $ e o topo no ponto $ z = h $, onde $ h $ é a altura total da pirâmide. Nosso objetivo é encontrar a coordenada $ \bar{z} $ do centroide.

Passo 3

Para encontrar o centroide, precisamos calcular a média ponderada da coordenada z em todo o volume da pirâmide. Vamos usar um elemento diferencial de volume. A sugestão é usar um elemento de placa retangular com espessura $ dz $ e área $ (2x)(2y) $. Isso significa que a área desse elemento é $ 4xy $.

Passo 4

Sabemos que em uma pirâmide, as dimensões x e y variam linearmente com z. No topo da pirâmide ($ z = h z = h ã z = 0 $), eles são máximos. Podemos expressar $ x $ e $ y $ em função de z como:
z = 0
onde $ a $ e $ b $ são os comprimentos da base.

Passo 5

O volume diferencial $ dV $ desse elemento é:
dV Á
Substituindo as expressões de x e y:
dV = Área times dz = 4xy , dz

Passo 6

Para encontrar $ \bar{z} $, usamos a fórmula:
barz
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 7

Calculando o denominador (volume total da pirâmide):
integral dV = integral0^h ab (1 - zh)^2 dz
Fazendo a substituição $ u = 1 - \frac{z}{h} $, temos:
u = 1 - zh
Sabemos que o volume de uma pirâmide é $ \frac{1}{3} \times base \times altura $, confirmando nosso cálculo.

Passo 8

Calculando o numerador:
integral z , dV = integral0^h z cdot ab (1 - zh)^2 dz
Novamente, usando $ u = 1 - \frac{z}{h} $ e $ dz = -h du $, limitando de $ u = 1 $ para $ u = 0 $:
u = 1 - zh

Passo 9

Agora, substituímos no cálculo de $ \bar{z} $:
barz

Resposta

O centroide da pirâmide está localizado em $ \bar{z} = \frac{1}{4} h $.

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