A câmara do rei da Grande Pirâmide de Gizé está localizada em seu centroide. Supondo que a pirâmide seja sólida, prove que esse ponto está em
. Sugestão: use um elemento de placa diferencial retangular com espessura
e área
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente quer encontrar o ponto central na altura (ou seja, a coordenada z) da câmara do rei na Grande Pirâmide de Gizé. Esse ponto central é chamado de centroide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de centroide para sólidos, especificamente para pirâmides.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a pirâmide em um sistema de coordenadas. Vamos colocar a base da pirâmide no plano $ z = 0 $ e o topo no ponto $ z = h $, onde $ h $ é a altura total da pirâmide. Nosso objetivo é encontrar a coordenada $ \bar{z} $ do centroide.
Passo 3
Para encontrar o centroide, precisamos calcular a média ponderada da coordenada z em todo o volume da pirâmide. Vamos usar um elemento diferencial de volume. A sugestão é usar um elemento de placa retangular com espessura $ dz $ e área $ (2x)(2y) $. Isso significa que a área desse elemento é $ 4xy $.
Passo 4
Sabemos que em uma pirâmide, as dimensões x e y variam linearmente com z. No topo da pirâmide ($ z = h
z = 0 $), eles são máximos. Podemos expressar $ x $ e $ y $ em função de z como:
onde $ a $ e $ b $ são os comprimentos da base.
Passo 5
O volume diferencial $ dV $ desse elemento é:
Substituindo as expressões de x e y:
Passo 6
Para encontrar $ \bar{z} $, usamos a fórmula:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 7
Calculando o denominador (volume total da pirâmide):
Fazendo a substituição $ u = 1 - \frac{z}{h} $, temos:
Sabemos que o volume de uma pirâmide é $ \frac{1}{3} \times base \times altura $, confirmando nosso cálculo.
Passo 8
Calculando o numerador:
Novamente, usando $ u = 1 - \frac{z}{h} $ e $ dz = -h du $, limitando de $ u = 1 $ para $ u = 0 $:
Passo 9
Agora, substituímos no cálculo de $ \bar{z} $:
Resposta
O centroide da pirâmide está localizado em $ \bar{z} = \frac{1}{4} h $.